Question

如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．
（1）求梯形ABCD的面積S；
（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以1cm/s的速度，沿B?A?D?C方向，向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以1cm/s的速度，沿C?D?A方向，向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥BC于點(diǎn)E．若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)目的地時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．問(wèn)：
①當(dāng)點(diǎn)P在B?A上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在這樣的t，使得直線(xiàn)PQ將梯形ABCD的周長(zhǎng)平分？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
②在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的t，使得以P、A、D為頂點(diǎn)的三角形與△CQE相似？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
③在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的t，使得以P、D、Q為頂點(diǎn)的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求面積要先求梯形的高，可根據(jù)兩底的差和CD的長(zhǎng)，在直角三角形中用勾股定理進(jìn)行求解，得出高后即可求出梯形的面積．
（2）①PQ平分梯形的周長(zhǎng)，那么AD+DQ+AP=BC+CQ+BP，已知了AD，BC的長(zhǎng)，可以用t來(lái)表示出AP，BP，CQ，QD的長(zhǎng)，那么可根據(jù)上面的等量關(guān)系求出t的值．
②本題要分三種情況進(jìn)行討論：
一，當(dāng)P在AB上時(shí)，即0＜t≤8，如果兩三角形相似，那么∠C=∠ADP，或∠C=∠APD，那么在△ADP中根據(jù)∠C的正切值，求出t的值．
二，當(dāng)P在AD上時(shí)，即8＜t≤10，由于P，A，D在一條直線(xiàn)上，因此構(gòu)不成三角形．
三，當(dāng)P在CD上時(shí)，即10＜t≤12，由于∠ADC是個(gè)鈍角，因此△ADP是個(gè)鈍角三角形因此不可能和直角△CQE相似．
綜合三種情況即可得出符合條件的t的值．
（3）和（2）相同也要分三種情況進(jìn)行討論：
一，當(dāng)P在AB上時(shí)，即0＜t≤8，等腰△PDQ以DQ為腰，因此DQ=DP或DQ=PQ，可以通過(guò)構(gòu)建直角三角形來(lái)表示出DP，PQ的長(zhǎng)，然后根據(jù)得出的等量關(guān)系來(lái)求t的值．
二，當(dāng)P在AD上時(shí)，即8＜t≤10，由于BA+AD=CD=10，因此DP=DQ=10-t，因此DP，DQ恒相等．
三，當(dāng)P在CD上時(shí)，即10＜t≤12，情況同二．
綜合三種情況可得出等腰三角形以DQ為腰時(shí)，t的取值．
解答：解：（1）過(guò)D作DH∥AB交BC于H點(diǎn)，
∵AD∥BH，DH∥AB，
∴四邊形ABHD是平行四邊形．
∴DH=AB=8；BH=AD=2．
∴CH=8-2=6．
∵CD=10，
∴DH²+CH²=CD²∴∠DHC=90°．
∠B=∠DHC=90°．
∴梯形ABCD是直角梯形．
∴S_ABCD=（AD+BC）AB=×（2+8）×8=40．

（2）①∵BP=CQ=t，
∴AP=8-t，DQ=10-t，
∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ，
∴8-t+2+10-t=t+8+t．
∴t=3＜8．
∴當(dāng)t=3秒時(shí)，PQ將梯形ABCD周長(zhǎng)平分．
②第一種情況：0＜t≤8若△PAD∽△QEC則∠ADP=∠C
∴tan∠ADP=tan∠C==
∴=，∴t=
若△PAD∽△CEQ則∠APD=∠C
∴tan∠APD=tan∠C==，∴=
∴t=
第二種情況：8＜t≤10，P、A、D三點(diǎn)不能組成三角形；
第三種情況：10＜t≤12△ADP為鈍角三角形與Rt△CQE不相似；
∴t=或t=時(shí)，△PAD與△CQE相似．

③第一種情況：當(dāng)0≤t≤8時(shí)．過(guò)Q點(diǎn)作QE⊥BC，QH⊥AB，垂足為E、H．
∵AP=8-t，AD=2，
∴PD==．
∵CE=t，QE=t，
∴QH=BE=8-t，BH=QE=t．
∴PH=t-t=t．
∴PQ==，DQ=10-t．
Ⅰ：DQ=DP，10-t=，
解得t=8秒．
Ⅱ：DQ=PQ，10-t=，
化簡(jiǎn)得：3t²-52t+180=0
解得：t=，t=＞8（不合題意舍去）
∴t=
第二種情況：8≤t≤10時(shí)．DP=DQ=10-t．
∴當(dāng)8≤t＜10時(shí)，以DQ為腰的等腰△DPQ恒成立．
第三種情況：10＜t≤12時(shí)．DP=DQ=t-10．
∴當(dāng)10＜t≤12時(shí)，以DQ為腰的等腰△DPQ恒成立．
綜上所述，t=或8≤t＜10或10＜t≤12時(shí)，以DQ為腰的等腰△DPQ成立．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了梯形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，要注意（2）中要根據(jù)P，Q的不同位置，進(jìn)行分類(lèi)討論，不要漏解．