【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A(1,0)、B(﹣3,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D.
(1)求該拋物線的解析式與頂點(diǎn)D的坐標(biāo).
(2)試判斷△BCD的形狀,并說(shuō)明理由.
(3)若點(diǎn)E在x軸上,點(diǎn)Q在拋物線上.是否存在以B、C、E、Q為頂點(diǎn)且以BC為一邊的平行四邊形?若存在,直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(4)探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P,使得以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1) 拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(﹣1,4);(2) △BCD是直角三角形,理由見(jiàn)解析;(3) Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣2,3)或(﹣1,﹣3)或(﹣﹣1,﹣3); (4) 符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為:(0,0)或(0,﹣)或(﹣9,0).
【解析】
(1)利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式;
(2)利用勾股定理求得△BCD的三邊的長(zhǎng),然后根據(jù)勾股定理的逆定理即可作出判斷;
(3)當(dāng)B、C、E、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,有兩種情況:①當(dāng)Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3時(shí),②當(dāng)點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)﹣3時(shí),代入解析式即可求得;
(4)分P在x軸和y軸兩種情況討論,舍出P的坐標(biāo),根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求解.
(1)拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A(1,0)、B(﹣3,0)兩點(diǎn),
∴,
解得a=﹣1,b=﹣2,
∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3,
∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4,
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(﹣1,4);
(2)△BCD是直角三角形.
理由如下:如圖1,過(guò)點(diǎn)D分別作x軸、y軸的垂線,垂足分別為E、F,
∵在Rt△BOC中,OB=3,OC=3,
∴BC2=OB2+OC2=18,
在Rt△CDF中,DF=1,CF=OF﹣OC=4﹣3=1,
∴CD2=DF2+CF2=2,
在Rt△BDE中,DE=4,BE=OB﹣OE=3﹣1=2,
∴BD2=DE2+BE2=20,
∴BC2+CD2=BD2
∴△BCD為直角三角形;
(3)①當(dāng)Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3時(shí),
∴把y=3代入y=﹣x2﹣2x+3求得x=0或﹣2,
∴Q1(﹣2,3);
②當(dāng)Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣3時(shí),
把y=﹣3代入y=﹣x2﹣2x+3求得x=﹣1或﹣﹣1,
∴Q2(﹣1,﹣3),Q3(﹣﹣1,﹣3),
綜上,Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣2,3)或(﹣1,﹣3)或(﹣﹣1,﹣3).
(4)由(2)知BC=3,CD=,BD=2,
①∵,,故當(dāng)P是原點(diǎn)O時(shí),△ACP∽△DBC;
②當(dāng)AC是直角邊時(shí),若AC與CD是對(duì)應(yīng)邊,
設(shè)P的坐標(biāo)是(0,a),則PC=3﹣a,,即,
解得:a=﹣9,
則P的坐標(biāo)是(0,﹣9),三角形ACP不是直角三角形,則△ACP∽△CBD不成立;
③當(dāng)AC是直角邊,若AC與BC是對(duì)應(yīng)邊時(shí),
設(shè)P的坐標(biāo)是(0,b),則PC=3﹣b,則,即,
解得:b=﹣,
故P是(0,﹣)時(shí),則△ACP∽△CBD一定成立;
④當(dāng)P在x軸上時(shí),AC是直角邊,P一定在B的左側(cè),設(shè)P的坐標(biāo)是(d,0),
則AP=1﹣d,當(dāng)AC與CD是對(duì)應(yīng)邊時(shí),,即,
解得:d=1﹣3,此時(shí),兩個(gè)三角形不相似;
⑤當(dāng)P在x軸上時(shí),AC是直角邊,P一定在B的左側(cè),設(shè)P的坐標(biāo)是(e,0).
則AP=1﹣e,當(dāng)AC與DC是對(duì)應(yīng)邊時(shí),,即,
解得:e=﹣9,符合條件.
綜上,符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為:(0,0)或(0,﹣)或(﹣9,0).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c(a<0)的對(duì)稱軸為x=-1,與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為(2,0).若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=p(p>0)有整數(shù)根,則p的值有( )
A. 2個(gè)B. 3個(gè)C. 4個(gè)D. 5個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,過(guò)A、B、C三點(diǎn)的⊙O交AD于點(diǎn)E,連接BE、CE,BE=BC.
(1)求證:△BEC∽△CED;
(2)若BC=10,DE=3.6,求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD,點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)(不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合)將正方形紙片折疊,使點(diǎn)B落在P處,點(diǎn)C落在G處,PG交DC于H,折痕為EF,連接BP、BH.
(1)求證:∠APB=∠BPH;
(2)當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動(dòng)時(shí),△PDH的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化?并證明你的結(jié)論;
(3)設(shè)AP為x,四邊形EFGP的面積為S,求出S與x的函數(shù)關(guān)系式,試問(wèn)S是否存在最小值?若存在,求出這個(gè)最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】斜坡AC上有一棵大樹(shù)AO,由于受臺(tái)風(fēng)的影響而傾斜,如圖,斜坡AC的坡角為30°,AC長(zhǎng)米,大樹(shù)AO的傾斜角是60°,大樹(shù)AO的長(zhǎng)為3米,若在地面上B處測(cè)得樹(shù)頂部O的仰角為60°,求點(diǎn)B與斜坡下端C之間的距離.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校九(1)班開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng),李明和張華兩位同學(xué)合作用測(cè)角儀測(cè)量學(xué)校旗桿的高度,李明站在B點(diǎn)測(cè)得旗桿頂端E點(diǎn)的仰角為45°,張華站在D(D點(diǎn)在直線FB上)測(cè)得旗桿頂端E點(diǎn)仰角為15°,已知李明和張華相距(BD)30米,李明的身高(AB)1.6米,張華的身高(CD)1.75米,求旗桿的高EF的長(zhǎng).(結(jié)果精確到0.1.參考數(shù)據(jù):sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,tan15°≈0.27)
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【題目】如圖,在△ABC中,CA=CB,∠C=90°,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),將△ABC沿著直線EF折疊,使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合,折痕交AB于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F,那么sin∠BED的值為( 。
A. B. C. D.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=12,點(diǎn)D在邊BC上,點(diǎn)E在線段AD上,EF⊥AC于點(diǎn)F,EG⊥EF交AB于點(diǎn)G,若EF=EG,則CD的長(zhǎng)為( )
A.3.6B.4C.4.8D.5
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【題目】如圖,BD是ABCD的對(duì)角線,AB⊥BD,BD=8cm,AD=10cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā),以5cm/s的速度沿DA運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)A,同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā),沿折線BD-DC運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)C,在BD、DC上分別以8cm/s、6cm/s的速度運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥AB,交射線AB于點(diǎn)M,連接PQ,以PQ與QM為邊作□PQMN.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)(t>0),PQMN與ABCD重疊部分圖形的面積為S(cm2).
(1)AP= cm(用含t的代數(shù)式表示).
(2)當(dāng)點(diǎn)N落在邊AB上時(shí),求t的值.
(3)求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.
(4)連結(jié)NQ,當(dāng)NQ與△ABD的一邊平行時(shí),直接寫出t的值.
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