Question

某校七年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)“三角形內(nèi)角或外角平分線的夾角與第三個(gè)內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系”進(jìn)行了探究．

（1）如圖1，△ABC兩內(nèi)角∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)E．則∠BEC=90°+

1

2

∠A．
（閱讀下面證明過(guò)程，并填空．）
證明：∵BE、CE分別平分∠ABC和∠ACB，
∴∠EBC=

1

2

∠ABC，∠ECB=

1

2

∠ACB（角平分線的定義）
∴∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）（

三角形內(nèi)角和定理

）
=180°-（

1

2

∠ABC+

1

2

∠ACB）=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）
=180°-

1

2

（180°-∠A）
=

180°-90°+

1

2

∠A

=90°+

1

2

∠A
（2）如圖2，△ABC的內(nèi)角∠ABC的平分線與△ABC的外角∠ACM的平分線交于點(diǎn)E．
請(qǐng)你寫出∠BEC與∠A的數(shù)量關(guān)系，并證明．
答：∠BEC與∠A的數(shù)量關(guān)系式：

∠BEC=

1

2

∠A

．
證明：

如下

．
（3）如圖3，△ABC的兩外角∠CBD與∠BCF的平分線交于點(diǎn)E，請(qǐng)你直接寫出∠BEC與∠A的數(shù)量關(guān)系，不需證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題目解答過(guò)程填寫即可；
（2）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，用∠A與∠1表示出∠2，再利用∠E與∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BEC與∠E的關(guān)系；
（3）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和以及角平分線的定義表示出∠EBC與∠ECB，然后再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解．

解答：（1）證明：∵BE、CE分別平分∠ABC和∠ACB，
∴∠EBC=

1

2

∠ABC，∠ECB=

1

2

∠ACB（角平分線的定義）
∴∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）（ 三角形內(nèi)角和定理）
=180°-（

1

2

∠ABC+

1

2

∠ACB），
=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB），
=180°-

1

2

（180°-∠A），
=180°-90°+

1

2

∠A，
=90°+

1

2

∠A；

（2）探究2結(jié)論：∠BEC=

1

2

∠A，
理由如下：
∵BE和CE分別是∠ABC和∠ACM的角平分線，
∴∠1=

1

2

∠ABC，∠2=

1

2

∠ACM，
又∵∠ACM是△ABC的一外角，
∴∠ACM=∠A+∠ABC，
∴∠2=

1

2

（∠A+∠ABC）=

1

2

∠A+∠1，
∵∠2是△BEC的一外角，
∴∠BEC=∠2-∠1=

1

2

∠A+∠1-∠1=

1

2

∠A；

（3）探究3：∠EBC=

1

2

（∠A+∠ACB），∠ECB=

1

2

（∠A+∠ABC），
∠BEC=180°-∠EBC-∠ECB，
=180°-

1

2

（∠A+∠ACB）-

1

2

（∠A+∠ABC），
=180°-

1

2

∠A-

1

2

（∠A+∠ABC+∠ACB），
結(jié)論∠BEC=90°-

1

2

∠A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的外角性質(zhì)與內(nèi)角和定理，熟記三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．