如下圖，已知矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB＝2，BC＝3，點(diǎn)P是AD邊上的一動(dòng)點(diǎn)(P異于A、D)，Q是BC邊上的任意一點(diǎn).連AQ、DQ，過(guò)P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F．

(1)求證：△APE∽△ADQ；

(2)設(shè)AP的長(zhǎng)為x，試求△PEF的面積S△PEF關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)P在何處時(shí)，S△PEF取得最大值？最大值為多少？

(3)當(dāng)Q在何處時(shí)，△ADQ的周長(zhǎng)最��？(須給出確定Q在何處的過(guò)程或方法，不必給出證明)

答案：
解析：

　　(1)證∠APE＝∠ADQ，∠AEP＝∠AQD．

　　(2)注意到△APE∽△ADQ與△PDE∽△ADQ，及S△PEF＝，

　　得S△PEF＝＝．∴當(dāng)，

　　即P是AD的中點(diǎn)時(shí)，S△PEF取得最大值．

　　(3)作A關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)，連交BC于Q，

　　則這個(gè)點(diǎn)Q就是使△ADQ周長(zhǎng)最小的點(diǎn)，此時(shí)Q是BC的中點(diǎn)．


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已知矩形ABCD的長(zhǎng)AB=4，寬AD=3，按如下圖放置在直線AP上，然后不滑動(dòng)地轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)它轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)，頂點(diǎn)A所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)等于______．

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操作：將矩形紙片沿EF折疊，使點(diǎn)B落在邊CD上．

探究：

(1)如下圖，若點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，你認(rèn)為△EDA1和△FDC全等嗎？如果全等給出證明，如果不全等請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)如下圖，若點(diǎn)B與CD的中點(diǎn)重合，求△FCB1和△B1DG的周長(zhǎng)之比．

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如下圖所示，已知矩形ABCD中，AB=3，BC=4，將矩形折疊使C點(diǎn)與A點(diǎn)重合。
（1）作出折痕EF，并寫(xiě)出作法（E點(diǎn)在BC邊上，F(xiàn)點(diǎn)在AD邊上）；
（2）折疊后點(diǎn)D落在D′上，求此時(shí)B、D之間的距離。

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