Question

【題目】如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE=DF．連接CF交BD于點(diǎn)G，連接BE交AG于點(diǎn)H．若正方形的邊長(zhǎng)為2，則線段DH長(zhǎng)度的最小值是 ．

Answer 1

【答案】 ﹣1
【解析】解：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1=∠2，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°，
∴∠1+∠BAH=90°，
∴∠AHB=180°﹣90°=90°，
取AB的中點(diǎn)O，連接OH、OD，
則OH=AO= AB=1，
在Rt△AOD中，OD= = = ，
根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，OH+DH＞OD，
∴當(dāng)O、D、H三點(diǎn)共線時(shí)，DH的長(zhǎng)度最小，
最小值=OD﹣OH= ﹣1．
（解法二：可以理解為點(diǎn)H是在Rt△AHB，AB直徑的半圓 上運(yùn)動(dòng)當(dāng)O、H、D三點(diǎn)共線時(shí)，DH長(zhǎng)度最小）
所以答案是： ﹣1．

【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用正方形的性質(zhì)，掌握正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形即可以解答此題．