Question

【題目】如圖，在中，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿運(yùn)動(dòng)，如果、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，的速度為1個(gè)單位/秒．在上的速度為1個(gè)單位/秒，在上的速度為個(gè)單位/秒．設(shè)出發(fā)時(shí)間為，記的面積的函數(shù)圖象為．

（1）當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)是_________；

（2）若直線(xiàn)與有兩個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍為_________．

Answer 1

【答案】 且

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，可得BP、BQ的長(zhǎng)，利用勾股定理計(jì)算即可；

（2）分0≤x≤4和4＜x≤8兩種情況，利用三角形的面積公式找出y1關(guān)于x函數(shù)關(guān)系式，依此畫(huà)出圖象T，再逐一分析直線(xiàn)y2＝x＋b與T相切或過(guò)（0，0）、（8，4）時(shí)b的值，結(jié)合圖形即可得出結(jié)論．

解：（1）當(dāng)x＝1時(shí)，AP＝BQ＝1，

∵AB＝BC＝4，

∴BP＝AB-AP＝3，

∵∠B＝90°，

∴在Rt△BPQ中，PQ＝，

∴PQ的長(zhǎng)為；

（2）當(dāng)0≤x≤4時(shí)，y1＝PBBQ＝（4－x）x＝－x2＋2x；

當(dāng)4＜x≤8時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥BC與點(diǎn)D，如圖1所示，

∵在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，

∴∠ACB＝45°，

∴QD＝CQsin∠ACB＝·（x－4）＝x－4，

∴y1＝BPQD＝（x－4）（x－4）＝（x－4）2．

畫(huà)出函數(shù)圖象T，如圖2所示．

當(dāng)直線(xiàn)y2＝x＋b與y1＝－x2＋2x（0≤x≤4）相切時(shí)，將y2＝x＋b代入y1＝－x2＋2x中，

整理得：－x2＋x－b＝0，

∵△＝12－4×（－）×（－b）＝0，

∴b＝；

當(dāng)直線(xiàn)y2＝x＋b過(guò)點(diǎn)（0，0）時(shí)，有0＝b；

當(dāng)直線(xiàn)y2＝x＋b過(guò)點(diǎn)（8，8）時(shí)，有8＝8＋b，

解得：b＝0；

當(dāng)直線(xiàn)y2＝x＋b與y1＝（x－4）2（4＜x≤8）相切時(shí)，

將y2＝x＋b代入y1＝（x－4）2中，

整理得：x2－10x＋16－2b＝0，

∵△＝（－10）2－4×1×（16－2b）＝0，

∴b＝－．

綜上所述：當(dāng)直線(xiàn)y2＝x＋b與T只有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍為且．

故答案為：且．