Question

如圖，已知直線y=

1

2

x與雙曲線y=

k

x

（k＞0）交于A，B兩點，且點A的橫坐標為4．
（1）求k的值及點B的坐標；
（2）若雙曲線y=

k

x

（k＞0）上一點C的縱坐標為8，求△AOC的面積．
（3）若點P在坐標軸上，且△APB為等腰三角形，那么這樣的P點有多少個？請你直接寫出其中的一個點的坐標（不需要求解過程）．

Answer 1

分析：（1）把A點的橫坐標代入直線y=

1

2

x求出x的值即可得出A點坐標，再根據(jù)點A在反比例函數(shù)y=

k

x

上即可得出k的值；由于反比例函數(shù)及正比例函數(shù)的圖象均關(guān)于原點對稱即可得出B點坐標；
（2）先由點C的縱坐標為8求出C點坐標，分別過點C、A作CD⊥x軸，AE⊥x軸，連接OC，則S_△AOC=S_△OCD+S_梯形AEDC-S_△AOE，故可得出結(jié)論．
（3）若AP=BP則點P在線段AB的垂直平分線上，與點P在坐標軸上相矛盾，故此種情況不存在，再分點P在x軸上與y軸上兩種情況進行討論即可．

解答：解：（1）∵直線y=

1

2

x與雙曲線y=

k

x

（k＞0）交于A，B兩點，且點A的橫坐標為4，
∴y=

1

2

×4=2，
∴A（4，2），
∴k=4×2=8；
∵反比例函數(shù)及正比例函數(shù)的圖象均關(guān)于原點對稱，
∴A、B兩點關(guān)于原點對稱，
∴B（-4，-2）；

（2）如圖，∵由（1）知k=8，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=

8

x

，
∵C點的縱坐標為8，
∴8=

8

x

，解得x=1，
∴C（1，8），
分別過點C、A作CD⊥x軸，AE⊥x軸，連接OC，
∵A（4，2），C（1，8）
∴CD=8，AE=2，DE=4-1=3，
∴S_△AOC=S_△OCD+S_梯形AEDC-S_△AOE，即

1

2

×8+

1

2

（8+2）×3-

1

2

×8=15．

（3）8個；
∵A（4，2），B（-4，-2），
∴AB=

(4+4)2+(2+2)2

=4

5

，
當(dāng)點P在x軸上時，設(shè)P（x，0），
若AP=AB，即

(4-x)2+22

=4

5

，解得x=4±2

19

，
∴P₁（4+2

19

，0），P₂（4-2

19

，0）；
 當(dāng)BP=AB時，

(x+4)2+22

=4

5

，解得x=-4±2

19

，
∴P₃（-4+2

19

，0），P₄（-4-2

19

，0）；
當(dāng)點P在y軸上時，設(shè)P（0，y）
若AP=AB，即

42+(2-y)2

=4

5

，解得y=±6，
∴P₅（0，6），P₆（0，-6）；
若BP=AB，即

42+(y+2)2

=4

5

，解得y=±10，
∴P₇（0，10），P₈（0，-10），
綜上所述，P點坐標為：P（0，6）、（0，-10）、（-2

19

-4，0）、（-4+2

19

，0）、（4-2

19

，0）、（4+2

19

，0）、（0，-6）、（0，10）．

點評：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、三角形及梯形的面積公式、等腰三角形的性質(zhì)等知識，在解答（3）時要注意進行分類討論，不要漏解．