Question

【題目】若關(guān)于 x 的一元二次方程axbxc=0（a0，c0，a、b、c為常數(shù)）有兩個不相等的實數(shù)根，（0），O為坐標(biāo)原點，A、B為x軸正半軸上的兩點且A，0，B，0.

（1）當(dāng)=c=2,b=-時，求與a的值;

（2）當(dāng) x 1，c 6a 時，P為一次函數(shù) y x4圖象上一點，Q為平面直角坐標(biāo)系中的一點，若點 A、B、P、Q 為一個矩形的四個頂點，請確定點Q的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)=2c時，試問在正比例函數(shù)y=的圖象上是否存在點M使得△ABM為等邊三角形？判斷并證明你的結(jié)論。

Answer 1

【答案】（1）=3，a=；（2）點Q的坐標(biāo)為：（6，3）或（1，-2）；（3）不存在點M使得△ABM為等邊三角形，證明見解析.

【解析】

（1）把=c=2，b=代入可求出a的值，從而得到該方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可求出另一根；

（2）把x1，c6a代入可求出b=-7a，從而將方程變形為a(x-1)(x-6)=0，得到A，B坐標(biāo)，然后根據(jù)一次函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征和矩形的性質(zhì)可分情況求出點Q的坐標(biāo)；

（3）將=2c代入axbx c=0利用根與系數(shù)的關(guān)系求出，得到A，B坐標(biāo)，過點M作MC⊥x軸于點C，由C是AB中點，可求出C的坐標(biāo)，進(jìn)而代入正比例函數(shù)解析式得到M點坐標(biāo)，然后根據(jù)CM=AC列出方程求出b值，推出矛盾，問題得解.

解：（1）把=c=2，b=代入ax bx c=0得：4a+2×()+2=0，

解得：a=，

所以該方程為：xx 2=0，

∵=，即2+=5，

∴=3；

（2）把x1，c6a代入axbx c=0得ab6a=0，

∴b=-7a；

∴ax-7ax 6a=0，即a(xx 6)=0，

∴a(x-1)(x-6)=0（a0），

∴，，

∴A(1，0)，B(6，0)，

①如圖1，過點A作AP⊥x軸交直線yx4于點P，

∴P（1，3），

∵四邊形APQB為矩形，

∴Q（6，3）；

②如圖2，過點B作BP⊥x軸交直線yx4于點P，

∴P（6，-2），

∵四邊形ABPQ為矩形，

∴Q（1，-2）；

綜上所述，點Q的坐標(biāo)為：（6，3）或（1，-2）；

（3）不存在點M使得△ABM為等邊三角形；

證明：將=2c代入axbx c=0得：4ac2+2bc+c=0，即c(4ac+2b+1)=0，

∵c0，

∴4ac+2b+1=0①，

∵，

∴，

∴A(2c，0)，B(，0)，

假設(shè)存在點M使得△ABM為等邊三角形，

如圖3，過點M作MC⊥x軸于點C，則C是AB中點，

∴C點橫坐標(biāo)為：，

將代入可得，

由①可知4ac=-(2b+1)，4ac+1=-2b，

∴，

∴M（，），

當(dāng)△ABM為等邊三角形時，CM=AC，

AC，

∴

∴，

解得：b=-1（舍）或b=，

∵b=，，

∴a＜0，與題設(shè)中a0矛盾，

∴不存在點M使得△ABM為等邊三角形.