【題目】如圖1,將三角板放在正方形上,使三角板的直角頂點與正方形的頂點重合,三角板的一邊交于點,另一邊交的延長線于點.
(1)求證:;
(2)如圖2,將三角板繞點旋轉(zhuǎn),當時,連接交于點求證:;
(3)如圖3,將“正方形”改為“矩形”,且將三角板的直角頂點放于對角線(不與端點重合)上,使三角板的一邊經(jīng)過點,另一邊交于點,若,求的值.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3).
【解析】
(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)全等模型利用正方形的性質(zhì),由可證明,從而可得結(jié)論;
(2)根據(jù)正方形性質(zhì)可知,結(jié)合已知可得;再由(1)可知是等腰直角三角形可得 ,從而證明 ,由相似三角形性質(zhì)即可得出結(jié)論;
(3)首先過點作,垂足為,交AD于M點,由有兩角對應(yīng)相等的三角形相似,證得,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例,再由平行可得,由此即可求得答案.
(1)證明:∵在正方形ABCD中,
∴,
又∵,
,
在和中,
,
∴(ASA),
;
(2)證明 :∵四邊形ABCD是正方形,
∴,
又∵,
∴,
由(1)可知,
∴,
∴,
由(1)可知是等腰直角三角形,
∴,
∴,
∴,
∴,
由(1)可知,
∴.
(3)解:如圖,過點作,垂足為,交AD于M點,
∵四邊形ABCD為矩形,
∴,,
∴四邊形ABNM是矩形,
∴ ,,
∴
又∵ ,
∴,
∴,
∴,
,
又∵,
∴,
又∵,
∴,
,
∵
.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,已知□ABCD,AB//x軸,AB=6,點A的坐標為(1,-4),點D的坐標為(-3,4),點B在第四象限,點P是□ABCD邊上的一個動點.
(1)若點P在邊BC上,PD=CD,求點P的坐標.
(2)若點P在邊AB,AD上,點P關(guān)于坐標軸對稱的點Q落在直線y=x-1上,求點P的坐標.
(3)若點P在邊AB,AD,CD上,點G是AD與y軸的交點,如圖2,過點P作y軸的平行線PM,過點G作x軸的平行線GM,它們相交于點M,將△PGM沿直線PG翻折,當點M的對應(yīng)點落在坐標軸上時,求點P的坐標(直接寫出答案).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在學(xué)習(xí)《圓》這一單元時,我們學(xué)習(xí)了圓周角定理的推論:圓內(nèi)接四邊形的對角互補;事實上,它的逆命題:對角互補的四邊形的四個頂點共圓,也是一個真命題.在圖形旋轉(zhuǎn)的綜合題中經(jīng)常會出現(xiàn)對角互補的四邊形,那么,我們就可以借助“對角互補的四邊形的四個頂點共圓”,然后借助圓的相關(guān)知識來解決問題,例如:
已知:是等邊三角形,點是內(nèi)一點,連接,將線段繞逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段,連接,,,并延長交于點.當點在如圖所示的位置時:
(1)觀察填空:
①與全等的三角形是________;
②的度數(shù)為
(2)利用題干中的結(jié)論,證明:,,,四點共圓;
(3)直接寫出線段,,之間的數(shù)量關(guān)系.____________________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,用直尺和圓規(guī)作∠BAD的平分線AG交BC于點E,若BF=6,AB=4,則AE的長為( 。
A. B. 2 C. 3 D. 4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在大樓AB正前方有一斜坡CD,坡角∠DCE=30°,樓高AB=60米,在斜坡下的點C處測得樓頂B的仰角為60°,在斜坡上的D處測得樓頂B的仰角為45°,其中點A,C,E在同一直線上.
(1)求坡底C點到大樓距離AC的值;
(2)求斜坡CD的長度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中,有一道“群羊逐草”的問題,大意是:牧童甲在草原上放羊,乙牽著一只羊來,并問甲:“你的羊群有100只嗎?”甲答:“如果在這群羊里加上同樣的一群,再加上半群,四分之一群,再加上你的一只,就是100只.”問牧童甲趕著多少只羊?若設(shè)這群羊有x只,則下列方程中,正確的是( )
A. (1++)x=100+1 B. x+x+x+x=100﹣1 C. (1++)x=100﹣1 D. x+x+x+x=100+1
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小西紅柿又叫圣女果,既可以生吃,也可以作為美食原料,營養(yǎng)價值極高,因此深受人們的歡迎,為了解甲、乙兩個規(guī)模相當?shù)姆N植基地的小西紅柿產(chǎn)量,從這兩個種植基地中各隨機選取50株小西紅柿秧苗進行調(diào)查,將得到的數(shù)據(jù)分類整理成如下統(tǒng)計表:
甲基地每株秧苗收獲小西紅柿個數(shù)統(tǒng)計表:
小西紅柿個數(shù)x/個 | 25≤x<35 | 35≤x<45 | 45≤x<55 | 55≤x<65 | 65≤x<75 | 75≤x<85 |
秧苗株數(shù)/株 | 4 | 8 | 12 | 12 | 10 | 4 |
乙基地每株秧苗收獲小西紅柿個數(shù)統(tǒng)計表:
小西紅柿個數(shù) x/個 | 25≤x<35 | 35≤x<45 | 45≤x<55 | 55≤x<65 | 65≤x<75 | 75≤x<85 |
秧苗株數(shù)/株 | 9 | 6 | 12 | 10 | 11 | 2 |
(說明:x<45為產(chǎn)量不合格,x≥45為產(chǎn)量合格,其中45≤x<65為產(chǎn)量良好,65≤x<85為產(chǎn)量優(yōu)秀)
(
(2)某水果商準備在甲、乙兩個小西紅柿種植基地中選擇一個進行合作,若一株秧苗產(chǎn)量優(yōu)秀可獲利13元,產(chǎn)量良好可獲利8元,產(chǎn)量不合格虧損5元.以這兩個基地的50株秧苗獲得的平均利潤為決策依據(jù),請你利用所學(xué)的統(tǒng)計知識幫該水果商選擇與哪個基地進行合作能獲得更大利潤?并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,D為BC的中點.
(1)如圖,E、F分別是AB、AC上的點,且BE=AF,求證:△DEF為等腰直角三角形.
(2)若E、F分別為AB,CA延長線上的點,仍有BE=AF,其他條件不變,那么,△DEF是否仍為等腰直角三角形?畫出圖形,寫出結(jié)論不證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)興趣小組為了解全校學(xué)生星期六和星期日在家使用手機的情況,興趣小組隨機抽取若干名學(xué)生,調(diào)查他們周末兩天的使用手機時間,并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了下面兩幅不完整的統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖.根據(jù)圖表信息,解答下列問題:
閱讀時間 (小時) | 頻數(shù) (人) | 頻率 |
1≤x<2 | 9 | 0.15 |
2≤x<3 | a | m |
3≤x<4 | 18 | 0.3 |
4≤x<5 | 12 | n |
5≤x<6 | 6 | 0.1 |
合計 | b | 1 |
(1)填空:a= ,b= ,m= ,n= :
(2)將頻數(shù)分布直方圖補充完整;
(3)這個中學(xué)的學(xué)生共有1200人,根據(jù)上面信息來估算全校學(xué)生中周末兩天使用手機時間不低于4小時的學(xué)生大約有多少人?
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