Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，點P從點A出發(fā)，沿折線AC﹣CB向終點B運動，點P在AC上的速度為每秒2個單位長度，在CB上的速度為每秒1個單位長度，同時，點Q從點A出發(fā)，沿AC以每秒1個單位長度的速度向終點C運動，當點Q到達終點時，點P也隨之停止．過點P作PM⊥AD于點M，連接QM，以PM、QM為鄰邊作PMQN，設PMQN與矩形ABCD重疊部分圖形的周長為d（長度單位），點P的運動時間為t（秒）（t＞0）

（1）求AC的長
（2）用含t的代數(shù)式表示線段CP的長．
（3）當點P在線段AC上時，求d與t之間的函數(shù)關系式．
（4）經(jīng)過點N的直線將矩形ABCD的面積平分，若該直線同時將PMQN的面積分成1：3的兩部分，直接寫出此時t的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴BC=AD=4，∴∠ABC=90°，

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC= = =5，

∴AC的長為5．

（2）解：當點P在線段AC上，CP=5﹣2t，

當點P在線段CB上，CP=t﹣ ．

（3）解：如圖1中，當N在BC上時．

∵AP=2t，AQ=t，

∴AQ=PQ，

∵PM⊥AD，

∴∠AMP=90°，

∴QM= AP=t，

由△APM∽△ACD，可得 = ，

∴ = ，

∴PM= t，

由△CNQ∽△CBA，可得 = ，

∴ = ，

解得t= ，

當0＜t≤ 時，如圖2中，重疊部分是四邊形PMQN，

d=2（t+ ）= t，

當 ＜t≤ ，如圖3中，重疊部分是五邊形EFPMQ．

d= t﹣（1+ ）（ ﹣3）+ （ t﹣3）=2t﹣4．

（4）解：∵經(jīng)過點N的直線將矩形ABCD的面積平分，

∴這條直線經(jīng)過矩形ABCD的對角線的交點O．

①如圖4中，當直線ON經(jīng)過PM的中點時，直線ON將PMQN的面積分成1：3的兩部分，

此時：由OQ：OP=NQ：PE=2：1，可得（ ﹣t）：（2t﹣ ）=2：1，解得t= ．

②如圖5中，當直線ON經(jīng)過QM的中點時，直線ON將PMQN的面積分成1：3的兩部分，

此時：由OQ：OP=NQ：PE=1：2，可得（ ﹣t）：（2t﹣ ）=1：2，解得t= ．

③如圖6中，當點P在BC上，PM經(jīng)過點O時，直線ON將PMQN的面積分成1：3的兩部分，易知t= s．

綜上所述，滿足條件的t的值為t= s或 s或 s時．

【解析】（1）利用勾股定理可解決；（2）須分類討論，當點P在線段AC上，CP=5﹣2t，或點P在線段CB上，CP=t-；（3）先求分類的分界點：當N在BC上時求出t=,然后分類討論：0＜t,重疊的為四邊形，當<t<時，重疊部分為五邊形，分別用t的代數(shù)式表示d；（4）平分矩形面積的這條直線經(jīng)過矩形ABCD的對角線的交點O，分類討論，利用相似三角形的性質可求出t值．
．

【考點精析】本題主要考查了正方形的性質和相似三角形的性質的相關知識點，需要掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形；對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形才能正確解答此題．