Question

（2013•房山區(qū)二模）已知拋物線y=（3-m）x²+2（m-3）x+4m-m²的最低點A的縱坐標是3，直線y=mx+b經(jīng)過點A，與y軸交于點B，與x軸交于點C．
（1）求拋物線與直線AB的解析式．
（2）將直線AB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，與x軸交于點D，與y軸交于點E，求sin∠BDE的值．
（3）過B點作x軸的平行線BG，點M在直線BG上，且到拋物線的對稱軸的距離為6，設點N在直線BG上，請你直接寫出使得∠AMB+∠ANB=45°的點N的坐標．

Answer 1

分析：（1）先由y=（3-m）x²+2（m-3）x+4m-m²可以求出拋物線的對稱軸，就可以求出頂點坐標，代入解析式就可以求出m的值，將A的坐標及m的值代入一次函數(shù)的解析式就可以求出結(jié)論；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)就可以求出D、E的坐標，由勾股定理就可以求出BD，DE、DF的值根據(jù)求銳角三角函數(shù)的方法就可以求出結(jié)論；
（3）根據(jù)題意畫出圖形，分情況討論運用相似三角形的性質(zhì)就可以求出結(jié)論．

解答：解：（1）∵y=（3-m）x²+2（m-3）x+4m-m²的，
∴拋物線的對稱軸x=-

b

2a

=-

2(m-3)

2(3-m)

=1．
∵拋物線y=（3-m）x²+2（m-3）x+4m-m²的最低點A的縱坐標是3
∴拋物線的頂點為A（1，3）
∴m2-5m+6=0，
∴m=3或m=2，
∵3-m＞0，
∴m＜3
∴m=2，
∴拋物線的解析式為：y=x²-2x+4，
直線為y=2x+b．
∵直線y=mx+b經(jīng)過點A（1，3）
∴3=2+b，
∴b=1．
∴直線AB為：y=2x+1；

（2）令x=0，則y=1，）令y=0，則x=-

1

2

，
∴B（0，1），C（-

1

2

，0）
將直線AB繞O點順時針旋轉(zhuǎn)90⁰，設DE與BC交于點F
∴D（1，0），E（0，

1

2

），∠CFD=90°，
∴OB=OD=1  OC=

1

2

，∴CD=

3

2

在Rt△BOC中，由勾股定理，得
CB=

5

2

，BD=

2

．
∵CD•OB=CB•DF，
∴DF=

3

5

5

，
∴由勾股定理，得
BF=

5

5

，
∴Sin∠BDE=

BF

BD

=

5 5

2

=

10

10

；

（3）如圖2，在BG上取一點Q，使AP=QP，
∴∠AQP=45°．
∴∠ANB+∠QAN=∠QAM+∠AMB=45°．
∵∠AMB+∠ANB=45°，
∴∠ANB=∠QAM，
∴△AQN∽△MQA，
∴

AQ

MQ

=

QN

QA

．
∵AD=3，OD=1，
∴AP=QP=2，
∴QM=4，AQ=2

2

，
∵MP=6，
∴MQ=4．
∴

2 2

4

=

QN

2 2

，
∴QN=2，
∴BN=5．
∴N（5，1）；
如圖3，在BG上取一點Q，使AP=QP，
∴∠AQP=45°．
∴∠ANB+∠AMB=∠QAM+∠AMB=45°．
∴∠ANB=∠QAM，
∴△AQM∽△NAM，
∴

AM

MN

=

QM

AM

．
∵AD=3，OD=1，
∴AP=QP=2，
∴QM=4，BM=7，AQ=2

2

，
∵MP=6，
∴MQ=4．AM=2

10

，
∴

2 10

MN

=

4

2 10

，
∴MN=10，
∴BN=3．
∴N（-3，1）；
∴N（-3，1）或（5，1）．

點評：本題考查了運用拋物線的頂點式求頂點坐標的運，運用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式的運用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運用，解答時尋找解答本題的突破口從拋物線的頂點入手，求N的坐標運用相似三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵．