Question

【題目】如圖，在等腰△ABC中，AC＝BC，D，E分別為AB，BC上一點，∠CDE＝∠A．

（1）如圖1，若BC＝BD，∠ACB＝90°，則∠DEC度數(shù)為_________°；

（2）如圖2，若BC＝BD，求證：CD＝DE；

（3）如圖3，過點C作CH⊥DE，垂足為H，若CD＝BD，EH＝1，求DE－BE的值．

Answer 1

【答案】（1）67.5;（2）證明見解析；（3）DE－BE=2．

【解析】

（1）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得出∠A=∠B=45°=∠CDE，再根據(jù)BC=BD，可得出∠BDC的度數(shù)，然后可得出∠BDE的度數(shù)，最后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得出∠DEC的度數(shù)；

（2）先根據(jù)條件得出∠ACD=∠BDE，BD=AC，再根據(jù)ASA判定△ADC≌△BED，即可得到CD=DE；
（3）先根據(jù)條件得出∠DCB=∠CDE，進而得到CE=DE，再在DE上取點F，使得FD=BE，進而判定△CDF≌△DBE（SAS），得出CF=DE=CE，再根據(jù)CH⊥EF，運用三線合一即可得到FH=HE，最后得出CE-BE=DE-DF=EF=2HE，即可得出結(jié)論．

（1）解：∵AC=BC，∠ACB=90°，

∴∠A=∠B=45°=∠CDE，

又BC=BD，

∴∠BDC=∠BCD=(180°-∠B)=67.5°，

∴∠BDE=∠BDC-∠CDE=67.5°-45°=22.5°，

∴∠DEC=∠B+∠BDE=67.5°；

故答案為：67.5；

（2）證明：∵AC=BC，∠CDE=∠A，
∴∠A=∠B=∠CDE，
∵∠CDB=∠A+∠ACD=∠CDE+∠BDE，
∴∠ACD=∠BDE，
又∵BC=BD，
∴BD=AC，
在△ADC和△BED中，

，

∴△ADC≌△BED（ASA），
∴CD=DE；

（3）解：∵CD=BD，
∴∠B=∠DCB，
由（2）知：∠CDE=∠B，
∴∠DCB=∠CDE，
∴CE=DE，
如圖，在DE上取點F，使得FD=BE，

在△CDF和△DBE中，

，

∴△CDF≌△DBE（SAS），
∴CF=DE=CE，
又∵CH⊥EF，
∴FH=HE，

∴DE－BE=DE－DF=EF=2HE=2．