【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0.
(1)求證:無論m取何值,原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;
(2)若x1,x2是原方程的兩根,且|x1-x2|=2,求m的值.
【答案】(1)證明見解析;(2)m1=1,m2=-3.
【解析】
試題(1)根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0的根的判別式△=b2﹣4ac的符號(hào)來判定該方程的根的情況;
(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得x1+x2=﹣(m+3),x1x2=m+1;然后由已知條件“|x1﹣x2|=2”可以求得(x1﹣x2)2=(x1+x2)2﹣4x1x2=8,從而列出關(guān)于m的方程,通過解該方程即可求得m的值;最后將m值代入原方程并解方程.
試題解析: (1)∵△=(m+3)2﹣4(m+1)=(m+1)2+4,
∵無論m取何值,(m+1)2+4恒大于0,
∴原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
(2)∵x1,x2是原方程的兩根,
∴x1+x2=﹣(m+3),x1x2=m+1,
∵|x1﹣x2|=2
∴(x1﹣x2)2=(2)2,
∴(x1+x2)2﹣4x1x2=8,
∴[﹣(m+3)]2﹣4(m+1)=8∴m2+2m﹣3=0,
解得:m1=﹣3,m2=1.
當(dāng)m=﹣3時(shí),原方程化為:x2﹣2=0,
解得:x1=,x2=﹣,
當(dāng)m=1時(shí),原方程化為:x2+4x+2=0,
解得:x1=﹣2+,x2=﹣2﹣.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,以A為圓心,任意長(zhǎng)為半徑畫弧,分別交AC,AB于點(diǎn)M,N,再分別以M,N為圓心,大于MN長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)O,作射線AO,交BC于點(diǎn)E.已知CE=3,BE=5,則AC的長(zhǎng)為( 。
A.8B.7C.6D.5
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,線段AB和射線BM交于點(diǎn)B.
(1)利用尺規(guī)完成以下作圖,并保留作圖痕跡(不寫作法)
①在射線BM上作一點(diǎn)C,使AC=AB;
②作∠ABM 的角平分線交AC于D點(diǎn);
③在射線CM上作一點(diǎn)E,使CE=CD,連接DE.
(2)在(1)所作的圖形中,猜想線段BD與DE的數(shù)量關(guān)系,并證明之.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖 1,在△ ABC中,∠ACB = 2∠B, ∠BAC的平分線AO交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)H為AO上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)H作直線l⊥ AO于H,分別交直線AB、AC、BC于點(diǎn)N、E、M
(1)當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)(如圖 2),求證:NH = CH;
(2)當(dāng)M是BC中點(diǎn)時(shí),寫出CE和CD之間的等量關(guān)系,并加以證明;
(3)請(qǐng)直接寫出BN、CE、CD之間的等量關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)銷售一批襯衫,平均每天可售出件,每件盈利元.為了擴(kuò)大銷售,增加盈利,商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),在一定范圍內(nèi),襯衫的單價(jià)每下降元,商場(chǎng)平均每天可多售出件.
如果商場(chǎng)通過銷售這批襯衫每天獲利元,那么襯衫的單價(jià)應(yīng)下降多少元?
當(dāng)每件襯衫的單價(jià)下降多少元時(shí),每天通過銷售襯衫獲得的利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)為多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,下列判斷正確的是( )
A. 1一定不是關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的根
B. 0一定不是關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的根
C. 1和﹣1都是關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的根
D. 1和﹣1不都是關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的根
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠BAC和∠ABC的平分線相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O作EF∥AB交BC于F,交AC于E,過點(diǎn)O作OD⊥BC于D,下列四個(gè)結(jié)論:
①∠AOB=90°+∠C;
②AE+BF=EF;
③當(dāng)∠C=90°時(shí),E,F分別是AC,BC的中點(diǎn);
④若OD=a,CE+CF=2b,則S△CEF=ab.
其中正確的是( 。
A.①②B.③④C.①②④D.①③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1,網(wǎng)格中有一個(gè)格點(diǎn)△ABC(即三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上).
(1)△ABC的面積為__________;
(2)在圖中作出△ABC關(guān)于直線MN的對(duì)稱圖形△A′B′C′.
(3)利用網(wǎng)格紙,在MN上找一點(diǎn)P,使得PB+PC的距離最短.( 保留痕跡)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)的圖象如圖所示,有下列個(gè)結(jié)論:
①;②;③;④,(的實(shí)數(shù));⑤,其中正確的結(jié)論有________.
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