【題目】如圖,已知拋物線 (a為常數(shù),且a0)x軸從左至右依次交于AB兩點,與y軸交于點C,經(jīng)過點B的直線與拋物線的另一交點為D,且點D的橫坐標為5

1)求拋物線的函數(shù)表達式;

2P為直線BD下方的拋物線上的一點,連接PD、PB, △PBD面積的最大值.

3)設F為線段BD上一點(不含端點),連接AF,一動點M從點A出發(fā),沿線段AF以每秒1個單位的速度運動到F,再沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到D后停止,當點F的坐標是多少時,點M在整個運動過程中用時最少?

【答案】(1);(2);(3)當F坐標為(-2, )時,點M在整個運動過程中用時最少.

【解析】試題分析: (1)首先求出點A、B坐標,然后求得點D坐標,代入拋物線y=ax+2)(x-4)(a為常數(shù),且a>0),求得拋物線解析式;

(2) 設P(m, ),根據(jù)三角形的面積公式即可得解;
(3)由題意,動點M運動的路徑為折線AF+DF,運動時間:t=AF+DF.作輔助線,將AF+DF轉化為AF+FG;再由垂線段最短,得到垂線段AH與直線BD的交點,即為所求的F點.

試題解析(1)拋物線y0,解得x=-2x4,

A(20),B(4,0)

∵直線經(jīng)過點B(4,0)

,解得,

∴直線BD解析式為:

x=-5時,y3,

D(5,3)

∵點D(5, )在拋物線上,

∴拋物線的函數(shù)表達式為:

(2)P(m, )

∴△BPD面積的最大值為..

(3)DKAB,AHDKAH交直線BD于點F

∵由(2)得,DN,BN9,容易得∠DBA30°∴∠BDH30°,

FGDF×sin30°,

∴當且僅當AHDK時,AF+FH最小,

M在整個運動中用時為:t

lBD ,FxAx=-2,F(2, )

∴當F坐標為(2, )時,用時最少.

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