Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C在AB的延長線上，AD平分∠CAE交⊙O于點D，且AE⊥CD，垂足為點E．
（1）求證：直線CE是⊙O的切線．
（2）若BC=3，CD=3 ，求弦AD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結OC，如圖，

∵AD平分∠EAC，

∴∠1=∠3，

∵OA=OD，

∴∠1=∠2，

∴∠3=∠2，

∴OD∥AE，

∵AE⊥DC，

∴OD⊥CE，

∴CE是⊙O的切線；

（2）∵∠CDO=∠ADB=90°，

∴∠2=∠CDB=∠1，∵∠C=∠C，

∴△CDB∽△CAD，

∴ = = ，

∴CD2=CBCA，

∴（3 ）2=3CA，

∴CA=6，

∴AB=CA﹣BC=3， = = ，設BD= K，AD=2K，

在Rt△ADB中，2k2+4k2=5，

∴k= ，

∴AD= ．

【解析】（1）連結OC，如圖，由AD平分∠EAC得到∠1=∠3，加上∠1=∠2，則∠3=∠2，于是可判斷OD∥AE，根據(jù)平行線的性質得OD⊥CE，然后根據(jù)切線的判定定理得到結論；（2）由△CDB∽△CAD，可得 = = ，推出CD2=CBCA，可得（3 ）2=3CA，推出CA=6，推出AB=CA﹣BC=3， = = ，設BD= K，AD=2K，在Rt△ADB中，可得2k2+4k2=5，求出k即可解決問題．