Question

（2012•溫州模擬）如圖矩形紙片ABCD中，AB=4，AC=3，將紙片折疊，使點B落在邊CD上的B′處，折痕為AE．在折痕AE上存在一點P到邊CD的距離與到點B的距離相等，則此相等距離為

16-4 7

3

．

Answer 1

分析：先根據(jù)題意畫出圖形，由翻折變換的性質(zhì)得出F、B′重合，分別延長AE，CD相交于點G，由平行線的性質(zhì)可得出GB′=AB′=AB=4，再根據(jù)相似三角形的判定定理得出△ACG∽△PB′G，求出其相似比，進(jìn)而可求出答案．

解答：解：如圖所示，設(shè)PF⊥CD，
由翻折變換的性質(zhì)可得BP=B′P，
又∵P到邊CD的距離與到點B的距離相等，
∴B'P⊥CD，
∵AB平行于CD，
∴∠BAG=∠AGC，
∵∠BAG=∠B′AG，AGC=∠B′AG，
∴GB′=AB′=AB=4，
∵PB′⊥CD，
∴PB′∥AC，
∴△ACG∽△PB′G，
∵Rt△ADB′中，AB′=4，AC=3，
∴CB′=

7

，
在△ACG和△PB′G中．

PB′

AC

=

GB′

GC

=

4

4+ 7

，
解得：PB'=

12

4+ 7

=

4 (4- 7 )

3

=

16-4 7

3

．
故答案為

16-4 7

3

．

點評：本題考查的是圖形翻折變換的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形，作出輔助線，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．