【題目】如圖①所示,在三角形紙片中,,,將紙片的一角折疊,使點(diǎn)落在內(nèi)的點(diǎn)處.
(1)若,________.
(2)如圖①,若各個(gè)角度不確定,試猜想,,之間的數(shù)量關(guān)系,直接寫出結(jié)論.
②當(dāng)點(diǎn)落在四邊形外部時(shí)(如圖②),(1)中的猜想是否仍然成立?若成立,請(qǐng)說(shuō)明理由,若不成立,,,之間又存在什么關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明。
(3)應(yīng)用:如圖③:把一個(gè)三角形的三個(gè)角向內(nèi)折疊之后,且三個(gè)頂點(diǎn)不重合,那么圖中的和是________.
【答案】(1)50°;(2)①見(jiàn)解析;②見(jiàn)解析;(3)360°.
【解析】
(1)根據(jù)題意,已知,,可結(jié)合三角形內(nèi)角和定理和折疊變換的性質(zhì)求解;
(2)①先根據(jù)折疊得:∠ADE=∠A′DE,∠AED=∠A′ED,由兩個(gè)平角∠AEB和∠ADC得:∠1+∠2等于360°與四個(gè)折疊角的差,化簡(jiǎn)得結(jié)果;
②利用兩次外角定理得出結(jié)論;
(3)由折疊可知∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6等于六邊形的內(nèi)角和減去(∠B'GF+∠B'FG)以及(∠C'DE+∠C'ED)和(∠A'HL+∠A'LH),再利用三角形的內(nèi)角和定理即可求解.
解:(1)∵,,
∴∠A′=∠A=180°-(65°+70°)=45°,
∴∠A′ED+∠A′DE =180°-∠A′=135°,
∴∠2=360°-(∠C+∠B+∠1+∠A′ED+∠A′DE)=360°-310°=50°;
(2)①,理由如下
由折疊得:∠ADE=∠A′DE,∠AED=∠A′ED,
∵∠AEB+∠ADC=360°,
∴∠1+∠2=360°-∠ADE-∠A′DE-∠AED-∠A′ED=360°-2∠ADE-2∠AED,
∴∠1+∠2=2(180°-∠ADE-∠AED)=2∠A;
②,理由如下:
∵是的一個(gè)外角
∴.
∵是的一個(gè)外角
∴
又∵
∴
(3)如圖
由題意知,
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=720°-(∠B'GF+∠B'FG)-(∠C'DE+∠C'ED)-(∠A'HL+∠A'LH)=720°-(180°-∠B')-(180°-C')-(180°-A')=180°+(∠B'+∠C'+∠A')
又∵∠B=∠B',∠C=∠C',∠A=∠A',
∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°.
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【題目】如圖,直線與坐標(biāo)軸交于、兩點(diǎn),過(guò),兩點(diǎn)的拋物線與軸的另一交點(diǎn)為,為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為________.
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【題目】如圖,長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15,寬為10,高為20,點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離為5,一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B,需要爬行的最短距離是__________
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【題目】如圖,已知點(diǎn)A、D、C、F在同一條直線上,AB=DE,BC=EF,要使△ABC≌△DEF,還需要添加一個(gè)條件是( 。
A. ∠BCA=∠F; B. ∠B=∠E; C. BC∥EF ; D. ∠A=∠EDF
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【題目】如圖所示,同時(shí)自由轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤,指針落在每一個(gè)數(shù)上的機(jī)會(huì)均等,轉(zhuǎn)盤停止后,兩個(gè)指針同時(shí)落在奇數(shù)上的概率是( )
A. B. C. D.
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【題目】小明和小亮兩位同學(xué)在學(xué)習(xí)“概率”時(shí),做投擲骰子(質(zhì)地均勻的正方體)實(shí)驗(yàn),他們實(shí)驗(yàn)的結(jié)果如下:
朝上的點(diǎn)數(shù) | ||||||
出現(xiàn)的次數(shù) |
請(qǐng)計(jì)算“點(diǎn)朝上”的頻率和“點(diǎn)朝上”的頻率.
一位同學(xué)說(shuō):“根據(jù)實(shí)驗(yàn),一次實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)點(diǎn)朝上的概率最大”.這位同學(xué)的說(shuō)法正確嗎?為什么?
小明和小亮各投擲一枚骰子,用列表或畫樹(shù)狀圖的方法求出兩枚骰子朝上的點(diǎn)數(shù)之和為的倍數(shù)的概率.
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【題目】一個(gè)三角形有兩邊長(zhǎng)分別為15和20,第三邊上的高為12,則第三邊的長(zhǎng)為______.
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【題目】如圖(1),AB=4cm,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=3cm,點(diǎn)P在線段AB上以1cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)Q在線段BD上由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng),他們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s).
(1)若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等,當(dāng)t=1時(shí),△ACP與△BPQ是否全等,請(qǐng)說(shuō)明理由
(2)判斷此時(shí)線段PC和線段PQ的關(guān)系,并說(shuō)明理由。
(3)如圖(2),將圖(1)中的“AC⊥AB,BD⊥AB”改為“∠CAB=∠DBA=60°”,其他條件不變,設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為x cm/s,是否存在實(shí)數(shù)x,使得△ACP與△BPQ全等?若存在,求出相應(yīng)的x、t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。
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(1)這次統(tǒng)計(jì)共抽查了 名學(xué)生;在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,表示“QQ”的扇形圓心角的度數(shù)為 ;
(2)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3)該校共有1500名學(xué)生,請(qǐng)估計(jì)該校最喜歡用“微信”進(jìn)行溝通的學(xué)生有多少名?
(4)某天甲、乙兩名同學(xué)都想從“微信”、“QQ”、“電話”三種溝通方式中選一種方式與對(duì)方聯(lián)系,請(qǐng)用列表或畫樹(shù)狀圖的方法求出甲、乙兩名同學(xué)恰好選中同一種溝通方式的概率.
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