【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=12,BC=,點O是AB的中點,點P在AB的延長線上,且BP=6.一動點E從O點出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿OA勻速運動,到達A點后,立即以原速度沿AO返回;另一動點F從P點出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿射線PA勻速運動,點E、F同時出發(fā),當兩點相遇時停止運動.在點E、F的運動過程中,以EF為邊作等邊△EFG,使△EFG和矩形ABCD在射線PA的同側,設運動的時間為t秒().

(1)當t= 時,等邊△EFG的邊FG恰好經過點C時;

(2)在整個運動過程中,設等邊△EFG和矩形ABCD重疊部分的面積為S,請直接寫出S與t之間的函數(shù)關系式和相應的自變量t的取值范圍;

(3)設EG與矩形ABCD的對角線AC的交點為H,是否存在這樣的t,使△AOH是等腰三角形?若存在,求出對應的t的值;若不存在,請說明理由.

【答案】1t2;

2)當0≤t2時,S= 4t16;當2≤t6時,S= t 2+6t;當6≤t8時,S= 8t80;當8≤t12時,S=t224t144;

3)存在5個這樣的值,使AOH是等腰三角形,即: t=62t=62t=4t=8t=0

【解析】試題分析:(1)當邊FG恰好經過點C時,∠CFB=60°,BF=6-t,在Rt△CBF中,解直角三角形可求t的值;(2)按照等邊△EFG和矩形ABCD重疊部分的圖形特點,分為0≤t<2,2≤t<6,6≤t<8,8≤t<12四種情況,分別寫出函數(shù)關系式;(3)存在.當△AOH是等腰三角形時,分為AH=AO=6,HA=HO,OH=OA三種情況,分別畫出圖形,根據(jù)特殊三角形的性質,列方程求t的值.

試題解析:(1)當邊FG恰好經過點C時,∠CFB=60°,BF=6t,

在Rt△CBF中,BC=2,

∴tan∠CFB=

∴tan60°=,

=

∴t=4,

∴當邊FG恰好經過點C時,時間為t=4,

(2)如圖1,

過點M作MN⊥AB,

①當0t<2時,如圖1,

∵tan60°===,

∴NE=4,

∵EB=6+t,NB=6+t4=2+t,

∴MC=2+t,

∴S= (MC+EB)×BC= (2+t+6+t)×4=4t+16;

②當2t<6時,如圖2,

∵MN=4,EF=OP=12,

∴GH=12×=6,

=

∴MK=4,

∵EB=6+t,BF=6t,BQ=

∴BQ= (6t),CQ=4BQ=t2.

∴S=S梯形MKFES△QBF=(MK+EF)×MNBF×BQ==t2+6t+14;

③如圖3,

當6t<8時,

∵MN=4,EF=122(t6)=242t,

∴GH=(242t)×= (12t),

=

∴MK=162t,

∴S= (MK+EF)×MN= (162t+242t)×4=8t+80;

④如圖4,

當8t<12時,

∵EF=242t,高為:EF×sin60°=EF= (242t)

S=EF×EF= (242t) 2 =t224t+144

(3)存在,理由如下:

在Rt△ABC中,tan∠CAB= =,

∴∠CAB=30°.

又∵∠HEO=60°,

∴∠HAE=∠AHE=30°.

∴AE=HE=6t或t6.

(Ⅰ)當AH=AO=6時,如圖5,

過點E作EM⊥AH于M,則AM=AH=3.

在Rt△AME中,cos∠MAE=

∴AE=2,

即6t=2或t6=2,t=62或6+2.

(Ⅱ)當HA=HO時,如圖6,

則∠HOA=∠HAO=30°,

又∵∠HEO=60°,

∴∠EHO=90°.

∴EO=2HE=2AE.

又∵AE+EO=6,

∴AE+2AE=6.

∴AE=2.

即6t=2或t6=2,

t=4或8.

(Ⅲ)當OH=OA時,如圖7,

則∠OHA=∠OAH=30°,

∴∠HOB=60°=∠HEB.

∴點E和O重合,

∴AE=6.

即6t=6或t6=6,

t=12(舍去)或t=0.

綜上所述,存在5個這樣的值,使△AOH是等腰三角形,即:t=62或t=6+2或t=4或t=8或t=0.

練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】)如圖,在ABC中,∠C=150°,AC=4,tanB=

1)求BC的長;

2)利用此圖形求tan15°的值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】下列運算正確的是( )
A.3a2+5a2=8a4
B.5a+7b=12ab
C.2m2n﹣5nm2=﹣3m2n
D.2a﹣2a=a

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知x=﹣5是方程k(x+4)2kx14的解,則k值為( )

A. 3B. 2C. 2D. 3

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】悅達汽車4S十一黃金周銷售某種型號汽車,該型號汽車的進價為30萬元/輛,若黃金周期間銷售量超過5輛時,每多售出1輛,所有售出的汽車進價均降低0.1萬元/輛.根據(jù)市場調查,黃金周期間銷售量不會突破30臺.已知該型號汽車的銷售價為32萬元/輛,悅達汽車4S店計劃黃金周期間銷售利潤25萬元,那么需售出多少輛汽車?(注:銷售利潤=銷售價﹣進價)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】函數(shù)y=x122的圖象可看作由函數(shù)y=x2的圖象( 。

A.先向右平移1個單位長度,再向上平移2個單位長度

B.先向左平移1個單位長度,再向上平移2個單位長度

C.先向左平移1個單位長度,再向下平移2個單位長度

D.先向右平移1個單位長度,再向下平移2個單位長度

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】從早上太陽升起的某一時刻開始到晚上,旭日廣場的旗桿在地面上的影子的變化規(guī)律是(  )
A.先變長,后變短
B.先變短,后變長
C.方向改變,長短不變
D.以上都不正確

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在四邊形ABCD中,P是對角線BD的中點,E、F分別是AB、CD的中點,AD=BC,∠PEF=30°,則∠EPF的度數(shù)是(  )

A.120°
B.150°
C.135°
D.140°

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如果一個有理數(shù)的奇次冪是正數(shù),那么這個有理數(shù)(
A.一定是正數(shù)
B.是正數(shù)或負數(shù)
C.一定是負數(shù)
D.可以是任意有理數(shù)

查看答案和解析>>

同步練習冊答案