Question

如圖，已知梯形OABC，AB∥OC，A（2，4），B（3，4），C（7，0）、點(diǎn)D在線段OC上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)D不與點(diǎn)O、C重合），過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線交梯形的一邊于點(diǎn)E，以DE為一邊向左側(cè)作正方形DEFG，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t，正方形DEFG與梯形OABC重合部分的面積為s，
（1）直接寫(xiě)出線段AO與線段BC所在直線的解析式；
（2）求s關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求s的最大值．

Answer 1

分析：（1）已知了A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，即可利用待定系數(shù)求得直線AO和直線BC的解析式．
（2）此題應(yīng)分五種情況討論：
①點(diǎn)E在線段OA上時(shí)（包括和A點(diǎn)重合），即0＜t≤2時(shí)，此時(shí)OD=t，DE=2t，重合部分是直角三角形，利用三角形的面積公式即可得到S、t的函數(shù)關(guān)系式；
②點(diǎn)E在線段AB上時(shí)（包括和B點(diǎn)重合），即2＜t≤3時(shí)，此時(shí)OD=t，DE=4，重合部分是個(gè)直角梯形，根據(jù)梯形的面積公式可求得S、t的函數(shù)關(guān)系式；
③點(diǎn)E在線段BC上，點(diǎn)G在O點(diǎn)左側(cè)（或與點(diǎn)O重合），即3＜t≤3.5時(shí)，此時(shí)OD=t，DE=7-t，重合部分是個(gè)直角梯形，首先將DE的長(zhǎng)代入直線AO的解析式中，即可得到EF與AO的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，從而求得梯形的上底長(zhǎng)，而梯形的下底為t，高為7-t，根據(jù)梯形的面積公式即可得到S、t的函數(shù)關(guān)系式；
④點(diǎn)E在線段BC上，點(diǎn)G在O點(diǎn)右側(cè)，點(diǎn)F在直線OA左側(cè)（包括點(diǎn)F在OA上），即3.5＜t≤

21

5

時(shí)，此時(shí)OD=t，DE=7-t，重合部分的面積可由正方形的面積減去未重合的直角三角形的面積，由此求得S、t的函數(shù)關(guān)系式；
⑤點(diǎn)E在線段BC上，其余三點(diǎn)均在梯形OABC內(nèi)部時(shí)，即

21

5

＜t＜7時(shí)，此時(shí)重合部分的面積就是正方形EFGD的面積，從而求得S、t的函數(shù)關(guān)系式；
根據(jù)上述五種不同的函數(shù)的性質(zhì)和對(duì)應(yīng)的自變量取值范圍即可得到S的最大值及對(duì)應(yīng)的t的值．

解答：解：（1）設(shè)直線AO的解析式為：y=kx，由于A（2，4），則：
2k=4，k=2，
∴y=2x；
設(shè)直線BC的解析式為：y=ax+b，則有：

3a+b=4 7a+b=0

，
解得

a=-1 b=7

；
∴y=-x+7；
故直線AO的解析式為：y=2x；（1分）
直線BC的解析式為：y=-x+7．（2分）

第（2）小題分以下五段：
①當(dāng)0＜t≤2時(shí)，有：s=t²；
當(dāng)t=2時(shí)，s有最大值為：4 （4分）
②當(dāng)2＜t≤3時(shí)，有：s=4t-4；
當(dāng)t=3時(shí)，s有最大值為：8（6分）
③當(dāng)3＜t≤3.5時(shí)，有：s=

1

2

(

5

2

t-

7

2

)(-t+7)=-

5

4

t2+

21

2

t-

49

4

=-

5

4

(t-

21

5

)2+9.8；
當(dāng)t=3.5時(shí)，s有最大值為：

147

16

（7分）
④當(dāng)3.5＜t≤

21

5

時(shí)，有：s=(-t+7)2-

1

4

(-5t+21)2=-

21

4

t2+

77

2

t-

245

4

=-

21

4

(t-

11

3

)2+

28

3

；
當(dāng)t滿(mǎn)足3.5＜t≤

21

5

時(shí)，s的值小于

147

16

．（8分）
⑤當(dāng)

21

5

＜t＜7時(shí)，有：s=（t-7）²；
此時(shí)s的值小于

147

16

，（9分）
綜上所述，當(dāng)t=3.5時(shí)，s有最大值為：

147

16

．（10分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一次函數(shù)解析式的確定以及圖形面積的求法，需要特別注意的是：在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．