【題目】如圖,已知拋物線經(jīng)過原點O,頂點為A(1,1),且與直線y=x﹣2交于B,C兩點.

(1)求拋物線的解析式及點C的坐標(biāo);

(2)求證:△ABC是直角三角形;

(3)若點N為x軸上的一個動點,過點N作MN⊥x軸與拋物線交于點M,則是否存在以O(shè),M,N為頂點的三角形與△ABC相似?若存在,請求出點N的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】(1)B(2,0),C(﹣1,﹣3);(2)△ABC是直角三角形;(3)(,0)或(,0)或(﹣1,0)或(5,0).

【解析】(1)可設(shè)頂點式,把原點坐標(biāo)代入可求得拋物線解析式,聯(lián)立直線與拋物線解析式,可求得C點坐標(biāo);

(2)分別過A、C兩點作x軸的垂線,交x軸于點D、E兩點,結(jié)合A、B、C三點的坐標(biāo)可求得∠ABO=∠CBO=45°,可證得結(jié)論;

(3)設(shè)出N點坐標(biāo),可表示出M點坐標(biāo),從而可表示出MN、ON的長度,當(dāng)△MON和△ABC相似時,利用三角形相似的性質(zhì)可得,可求得N點的坐標(biāo).

解:(1)∵頂點坐標(biāo)為(1,1),

∴設(shè)拋物線解析式為y=a(x﹣1)2+1,

又拋物線過原點,

∴0=a(0﹣1)2+1,解得a=﹣1,

∴拋物線解析式為y=﹣(x﹣1)2+1,

即y=﹣x2+2x,

聯(lián)立拋物線和直線解析式可得,解得

∴B(2,0),C(﹣1,﹣3);

(2)如圖,分別過A、C兩點作x軸的垂線,交x軸于點D、E兩點,

則AD=OD=BD=1,BE=OB+OE=2+1=3,EC=3,

∴∠ABO=∠CBO=45°,即∠ABC=90°,

∴△ABC是直角三角形;

(3)假設(shè)存在滿足條件的點N,設(shè)N(x,0),則M(x,﹣x2+2x),

∴ON=|x|,MN=|﹣x2+2x|,

由(2)在Rt△ABD和Rt△CEB中,可分別求得AB=,BC=3,

∵M(jìn)N⊥x軸于點N

∴∠ABC=∠MNO=90°,

∴當(dāng)△ABC和△MNO相似時有,

①當(dāng)時,則有=,即|x||﹣x+2|=|x|,

∵當(dāng)x=0時M、O、N不能構(gòu)成三角形,

∴x≠0,

∴|﹣x+2|=,即﹣x+2=±,解得x=或x=

此時N點坐標(biāo)為(,0)或(,0);

②當(dāng)時,則有=,即|x||﹣x+2|=3|x|,

∴|﹣x+2|=3,即﹣x+2=±3,解得x=5或x=﹣1,

此時N點坐標(biāo)為(﹣1,0)或(5,0),

綜上可知存在滿足條件的N點,其坐標(biāo)為(,0)或(,0)或(﹣1,0)或(5,0).

“點睛”本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及知識點有待定系數(shù)法、圖象的交點問題、直角三角形的判定、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)及分類討論等.在(1)中注意頂點式的運用,在(3)中設(shè)出N、M的坐標(biāo),利用相似三角形的性質(zhì)得到關(guān)于坐標(biāo)的方程是解題的關(guān)鍵,注意相似三角形點的對應(yīng).本題考查知識點較多,綜合性較強,難度適中.

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