Question

【題目】如圖，直線y=kx+b（b＞0）與拋物線 相交于點(diǎn)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）兩點(diǎn)，與x軸正半軸相交于點(diǎn)D，與y軸相交于點(diǎn)C，設(shè)△OCD的面積為S，且kS+32=0．

（1）求b的值；
（2）求證：點(diǎn)（y1 ， y2）在反比例函數(shù) 的圖象上；
（3）求證：x1OB+y2OA=0．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直線y=kx+b（b＞0）與x軸正半軸相交于點(diǎn)D，與y軸相交于點(diǎn)C，

∴令x=0，得y=b；令y=0，x=﹣ ，

∴△OCD的面積S= （﹣ ）b=﹣ ．

∵kS+32=0，

∴k（﹣ ）+32=0，

解得b=±8，

∵b＞0，

∴b=8；

（2）

證明：由（1）知，直線的解析式為y=kx+8，即x= ，

將x= 代入y= x2，得y= （ ）2，

整理，得y2﹣（16+8k2）y+64=0．

∵直線y=kx+8與拋物線 相交于點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，

∴y1，y2是方程y2﹣（16+8k2）y+64=0的兩個根，

∴y1y2=64，

∴點(diǎn)（y1，y2）在反比例函數(shù) 的圖象上

（3）

方法一：

證明：由勾股定理，得

OA2= + ，OB2= + ，AB2=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2，

由（2）得y1y2=64，

同理，將y=kx+8代入y= x2，

得kx+8= x2，即x2﹣8kx﹣64=0，

∴x1x2=﹣64，

∴AB2= + + + ﹣2x1x2﹣2y1y2= + + + ，

又∵OA2+OB2= + + + ，

∴OA2+OB2=AB2，

∴△OAB是直角三角形，∠AOB=90°．

如圖，過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F．

∵∠AOB=90°，

∴∠AOE=90°﹣∠BOF=∠OBF，

又∵∠AEO=∠OFB=90°，

∴△AEO∽△OFB，

∴ = ，

∵OE=﹣x1，BF=y2，

∴ = ，

∴x1OB+y2OA=0．

方法二：

分別過A，B兩點(diǎn)作x軸垂線，垂足分別為E、F，

x2﹣8kx﹣64=0，

∴x1=4k﹣4 ，x2=4k+ ，

y1=4k2+8﹣4k ，y2=4k2+8+ ，

∴A（4k﹣4 ，4k2+8﹣4k ），

B（4k+ ，4k2+8+ ），

KOA×KOB= = =﹣1＜

∴OA⊥OB，∠AOE+∠BOF=90°，AE⊥x軸，∠AOE+∠OAE=90°，

∴∠BOF=∠OAE，

∵BF⊥x軸，∴∠AEO=∠BFO=90°，

∴△AEO∽△BFO，

∴ ，

∵OE=﹣x1，BF=y2，

∴x1OB+y2OA=0．

【解析】（1）先求出直線y=kx+b與x軸正半軸交點(diǎn)D的坐標(biāo)及與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)，得到△OCD的面積S=﹣ ，再根據(jù)kS+32=0，及b＞0即可求出b的值；（2）先由y=kx+8，得x= ，再將x= 代入y= x2 ， 整理得y2﹣（16+8k2）y+64=0，然后由已知條件直線y=kx+8與拋物線 相交于點(diǎn)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）兩點(diǎn)，知y1 ， y2是方程y2﹣（16+8k2）y+64=0的兩個根，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到y(tǒng)1y2=64，即點(diǎn)（y1 ， y2）在反比例函數(shù) 的圖象上；（3）先由勾股定理，得出OA2= + ，OB2= + ，AB2=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2 ， 由（2）得y1y2=64，又易得x1x2=﹣64，則OA2+OB2=AB2 ， 根據(jù)勾股定理的逆定理得出∠AOB=90°．再過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似證明△AEO∽△OFB，由相似三角形對應(yīng)邊成比例得到 = ，即可證明x1OB+y2OA=0．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚ΨQ軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．