Question

【題目】已知：關(guān)于x的二次函數(shù)y=﹣x2+ax（a＞0），點(diǎn)A（n，y1）、B（n+1，y2）、C（n+2，y3）都在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上，其中n為正整數(shù)．
（1）y1=y2 ， 請(qǐng)說明a必為奇數(shù)；
（2）設(shè)a=11，求使y1≤y2≤y3成立的所有n的值；
（3）對(duì)于給定的正實(shí)數(shù)a，是否存在n，使△ABC是以AC為底邊的等腰三角形？如果存在，求n的值（用含a的代數(shù)式表示）；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點(diǎn)A（n，y1）、B（n+1，y2）、C（n+2，y3）都在二次函數(shù)y=﹣x2+ax（a＞0）的圖象上，

∴y1=﹣n2+an，y2=﹣（n+1）2+a（n+1）

∵y1=y2，

∴﹣n2+an=﹣（n+1）2+a（n+1）

整理得：a=2n+1

∴a必為奇數(shù)

（2）

解：當(dāng)a=11時(shí)，∵y1≤y2≤y3

∴﹣n2+11n≤﹣（n+1）2+11（n+1）≤﹣（n+2）2+11（n+2）

化簡(jiǎn)得：0≤10﹣2n≤18﹣4n，

解得：n≤4，

∵n為正整數(shù)，

∴n=1、2、3、4

（3）

解：假設(shè)存在，則BA=BC，如右圖所示．

過點(diǎn)B作BN⊥x軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)A作AD⊥BN于點(diǎn)D，CE⊥BN于點(diǎn)E．

∵xA=n，xB=n+1，xC=n+2，

∴AD=CE=1．

在Rt△ABD與Rt△CBE中，

，

∴Rt△ABD≌Rt△CBE（HL）．

∴∠ABD=∠CBE，即BN為頂角的平分線．

由等腰三角形性質(zhì)可知，點(diǎn)A、C關(guān)于BN對(duì)稱，

∴BN為拋物線的對(duì)稱軸，點(diǎn)B為拋物線的頂點(diǎn)，

∴n+1= ，

∴n= ﹣1．

∴a為大于2的偶數(shù)，存在n，使△ABC是以AC為底邊的等腰三角形，n= ﹣1．

【解析】（1）將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式，利用y1=y2得到用n表示a的式子，即可得到答案；（2）將a=11代入解析式后，由題意列出不等式組，求得此不等式組的正整數(shù)解；（3）本問為存在型問題．如解答圖所示，可以由三角形全等及等腰三角形的性質(zhì)，判定點(diǎn)B為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)A、C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱．于是得到n+1= ，從而可以求出n= ﹣1．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識(shí)，掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)，以及對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)的理解，了解增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減�。�