Question

3、如圖所示．直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠ADC=135°，CD的垂直平分線交BC于N，交AB延長線于F，垂足為M．求證：AD=BF．

Answer 1

分析：由MF是DC的垂直平分線，所以ND=NC．由AD∥BC及∠ADC=135°知，∠C=45°，從而∠NDC=45°，∠DNC=90°，所以ABND是矩形，進(jìn)而推知△BFN是等腰直角三角形，從而AD=BN=BF．

解答：解：證明：連接DN，
∵N是線段DC的垂直平分線MF上的一點，
∴ND=NC．
已知AD∥BC及∠ADC=135°，
∴∠C=45°，
∴∠NDC=45°（等腰三角形性質(zhì)）．
在△NDC中，∠DNC=90°（三角形內(nèi)角和定理），
∴ABND是矩形，
∴AF∥ND，∠F=∠DNM=45°．
∴△BNF是一個含有銳角45°的直角三角形，
∴BN=BF，已證得AD=BN，
∴AD=BF．

點評：本題考查了直角梯形、矩形、直角三角形等相關(guān)知識點，解決此類題要懂得用梯形的常用輔助線，把梯形分割為矩形和直角三角形，從而由矩形和直角三角形的性質(zhì)來求解．