Question

已知：⊙O₁與⊙O₂外切于點(diǎn)A，直線l與⊙O₁、⊙O₂相切于B、C兩點(diǎn)，且與O₁O₂的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P（如圖）．

（1）求∠BAC的度數(shù)；當(dāng)l繞P點(diǎn)逆時(shí)針移動(dòng)（過(guò)A點(diǎn)時(shí)除外），與⊙O₁和⊙O₂的交點(diǎn)從左到右依次為B、G、F、C時(shí)（如圖），∠BAC+∠GAF的度數(shù)能定嗎？若能確定，請(qǐng)求出．

（2）當(dāng)直線1繞P點(diǎn)移動(dòng)到兩圓的另一側(cè)且與兩圓分別相切于D、E時(shí)，在圖中各找出兩組垂直線段和相似三角形．（不再添加輔助線）

Answer 1

解：（1）過(guò)點(diǎn)A作兩圓的內(nèi)公切線，交BC于點(diǎn)Q，
∵⊙O₁與⊙O₂外切于點(diǎn)A，直線l與⊙O₁、⊙O₂相切于B、C兩點(diǎn)，
∴QB=QA=QC，
∴∠BAC=90°；
當(dāng)l繞P點(diǎn)逆時(shí)針移動(dòng)（過(guò)A點(diǎn)時(shí)除外），與⊙O₁和⊙O₂的交點(diǎn)從左到右依次為B、G、F、C時(shí)，∠BAC+∠GAF的度數(shù)能確定．過(guò)點(diǎn)A作兩圓的內(nèi)公切線，交BC于點(diǎn)Q；
∵⊙O₁與⊙O₂外切于點(diǎn)A，
∴∠GAQ=∠B，∠FAQ=∠P，
∴∠GAF=∠GAQ+∠FAQ=∠B+∠P；
∵∠BAC+∠B+∠P=180°，
∴∠BAC+∠GAF=180°；

（2）垂直線段：O₁D⊥PD，O₂E⊥PE
相似三角形：△PO₁D∽△PO₂E．
分析：（1）根據(jù)如果三角形一邊的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形．為此，過(guò)點(diǎn)A作兩圓的內(nèi)公切線，交BC于點(diǎn)P．根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得PB=PA=PC，得出∠BAC=90°．∠BAC+∠GAF的度數(shù)是否能確定，取決于此二角的度數(shù)和是否為一個(gè)常數(shù)，如果過(guò)點(diǎn)A作兩圓的內(nèi)公切線，交BC于點(diǎn)Q，所以GAF=∠B+∠P，從而∠BAC+∠GAF=180°．
（2）根據(jù)切線的性質(zhì)容易知道O₁D⊥PD，O₂E⊥PE．由O₁D∥O₂E知：△PO₁D∽△PO₂E．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系，切線的性質(zhì)，直角三角形，相似三角形的判定等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)．