【題目】如圖,已知△ABC內(nèi)接于⊙O,點(diǎn)C在劣弧AB上(不與點(diǎn)A,B重合),點(diǎn)D為弦BC的中點(diǎn),DE⊥BC,DE與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,射線AO與射線EB交于點(diǎn)F,與⊙O交于點(diǎn)G,設(shè)∠GAB=ɑ,∠ACB=β,∠EAG+∠EBA=γ,

(1)點(diǎn)點(diǎn)同學(xué)通過(guò)畫圖和測(cè)量得到以下近似數(shù)據(jù):

ɑ

30°

40°

50°

60°

β

120°

130°

140°

150°

γ

150°

140°

130°

120°

猜想:β關(guān)于ɑ的函數(shù)表達(dá)式,γ關(guān)于ɑ的函數(shù)表達(dá)式,并給出證明:
(2)若γ=135°,CD=3,△ABE的面積為△ABC的面積的4倍,求⊙O半徑的長(zhǎng).

【答案】
(1)

解:β=α+90°,γ=﹣α+180°

連接OB,

∴由圓周角定理可知:2∠BCA=360°﹣∠BOA,

∵OB=OA,

∴∠OBA=∠OAB=α,

∴∠BOA=180°﹣2α,

∴2β=360°﹣(180°﹣2α),

∴β=α+90°,

∵D是BC的中點(diǎn),DE⊥BC,

∴OE是線段BC的垂直平分線,

∴BE=CE,∠BED=∠CED,∠EDC=90°

∵∠BCA=∠EDC+∠CED,

∴β=90°+∠CED,

∴∠CED=α,

∴∠CED=∠OBA=α,

∴O、A、E、B四點(diǎn)共圓,

∴∠EBO+∠EAG=180°,

∴∠EBA+∠OBA+∠EAG=180°,

∴γ+α=180°


(2)

解:當(dāng)γ=135°時(shí),此時(shí)圖形如圖所示,

∴α=45°,β=135°,

∴∠BOA=90°,∠BCE=45°,

由(1)可知:O、A、E、B四點(diǎn)共圓,

∴∠BEC=90°,

∵△ABE的面積為△ABC的面積的4倍,

,

設(shè)CE=3x,AC=x,

由(1)可知:BC=2CD=6,

∵∠BCE=45°,

∴CE=BE=3x,

∴由勾股定理可知:(3x)2+(3x)2=62,

x= ,

∴BE=CE=3 ,AC= ,

∴AE=AC+CE=4 ,

在Rt△ABE中,

由勾股定理可知:AB2=(3 2+(4 2,

∴AB=5 ,

∵∠BAO=45°,

∴∠AOB=90°,

在Rt△AOB中,設(shè)半徑為r,

由勾股定理可知:AB2=2r2

∴r=5,

∴⊙O半徑的長(zhǎng)為5.


【解析】(1)由圓周角定理即可得出β=α+90°,然后根據(jù)D是BC的中點(diǎn),DE⊥BC,可知∠EDC=90°,由三角形外角的性質(zhì)即可得出∠CED=α,從而可知O、A、E、B四點(diǎn)共圓,由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知:∠EBO+∠EAG=180°,即γ=﹣α+180°;(2)由(1)及γ=135°可知∠BOA=90°,∠BCE=45°,∠BEC=90°,由于△ABE的面積為△ABC的面積的4倍,所以 ,根據(jù)勾股定理即可求出AE、AC的長(zhǎng)度,從而可求出AB的長(zhǎng)度,再由勾股定理即可求出⊙O的半徑r;
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用余角和補(bǔ)角的特征和三角形的面積,掌握互余、互補(bǔ)是指兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系,與兩個(gè)角的位置無(wú)關(guān);三角形的面積=1/2×底×高即可以解答此題.

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1)解:

,

(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等).

,

___________________________________).

__________________).

應(yīng)用:

2)如圖②,在中,點(diǎn)、、分別在邊、的延長(zhǎng)線上,且,,若,求的大小.(用含的代數(shù)式表示).

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(1)填空:a=________;b=________;m=________.

(2)若小軍的速度是 120 /分,求小軍第二次與爸爸相遇時(shí)距圖書館的距離.

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