Question

（2012•錦江區(qū)一模）如圖，已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象交反比例函數(shù)y=

4-2m

x

（x＞0）圖象于點(diǎn)A、B，交x軸于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)D，若點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，-4），且

BC

AB

=

1

3

．
（1）求m的值和一次函數(shù)的解析式；
（2）連接OA，求△OAC的面積．

Answer 1

分析：（1）過A作AE垂直于OC，交OC于點(diǎn)E，過B作BF⊥OC，交OC于點(diǎn)F，先把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式求出m的值，從而的反比例函數(shù)解析式，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（x，y），利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出y的值，然后代入反比例函數(shù)解析式求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，設(shè)出一次函數(shù)解析式為y=kx+b，將A和B的坐標(biāo)代入得到關(guān)于k與b的方程組，求出方程組的解得到k與b的值，確定出一次函數(shù)解析式；
（2）由第一問求出的一次函數(shù)解析式，令y=0求出x的值，即為C的橫坐標(biāo)，確定出OC的長，由A的縱坐標(biāo)確定出AE的長，以O(shè)C為底，AE為高，利用三角形的面積公式即可求出三角形AOC的面積．

解答：解：（1）過A作AE⊥OC，交OC于點(diǎn)E，過B作BF⊥OC，交OC于點(diǎn)F，
∵點(diǎn)A（2，-4）在反比例函數(shù)圖象上，
∴

4-2m

2

=-4，
解得：m=6，
∴反比例函數(shù)解析式為y=-

8

x

，
∵∠AEC=∠BFC=90°，且∠BCF=∠ACE，
∴△BCF∽△ACE，
∴

BF

AE

=

BC

AC

，
∵

BC

AB

=

1

3

，∴

BC

AC

=

1

4

，
設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x，y），
則點(diǎn)B到x軸的距離為-y，又點(diǎn)A到x軸的距離為4，
∴

-y

4

=

BC

AC

=

1

4

，
解得y=-1，
∴-

8

x

=-1，
解得：x=8，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是B（8，-1），
設(shè)這個(gè)一次函數(shù)的解析式為y=kx+b，
∵點(diǎn)A、B是直線與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)，
∴

2k+b=-4 8k+b=-1

，
解得：

k= 1 2 b=-5

，
則一次函數(shù)解析式為y=

1

2

x-5；


（2）令y=

1

2

x-5中y=0，
解得：x=10，
則C（10，0），即OC=10，
又∵A（2，-4），
∴AE=4，
則S_△AOC=

1

2

OC•AE=

1

2

×4×10=20．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：相似三角形的判定與性質(zhì)，比例的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，是一道較難的試題．