【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點.
(1)已知點A(3,1),連接OA,作如下探究:
探究一:平移線段OA,使點O落在點B,設(shè)點A落在點C,若點B的坐標(biāo)為(1,2),請在圖①中作出BC,點C的坐標(biāo)是__________.
探究二:將線段OA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°,設(shè)點A落在點D,則點D的坐標(biāo)是__________;連接AD,則AD=________(圖②為備用圖).
(2)已知四點O(0,0),A(a,b),C,B(c,d),順次連接O,A,C,B,O,若所得到的四邊形為平行四邊形,則點C的坐標(biāo)是____________.
【答案】(1)探究一 圖見解析;(4,3);探究二 (-1,3);2;
(2)(a+c,b+d)
【解析】
(1)探究一:由于點A(3,1),連接OA,平移線段OA,使點O落在點B.設(shè)點A落在點C,若點B的坐標(biāo)為(1,2),由此即可得到平移方法,然后利用平移方法即可確定在圖1中作出BC,并且確定點C的坐標(biāo);探究二:將線段OA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90度,設(shè)點A落在點D,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和方向可以確定點D的坐標(biāo);
(2)已知四點O(0,0),A(a,b),C,B(c,d),順次連接O,A,C,B.
若所得到的四邊形為平行四邊形,那么得到OA∥CB,根據(jù)平移的性質(zhì)和已知條件即可確定點C的坐標(biāo);
解:(1)探究一:∵點A(3,1),連接OA,平移線段OA,使點O落在點B.
設(shè)點A落在點C,若點B的坐標(biāo)為(1,2),
則C的坐標(biāo)為(4,3), 作圖如圖①所示.
探究二:∵將線段OA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90度,
設(shè)點A落在點D.
則點D的坐標(biāo)是(-1,3),如圖②所示,由勾股定理得:OD2=0A2=12+32=10,
AD===2.
(2)(a+c,b+d)
∵四點O(0,0),A(a,b),C,B(c,d),順次連接O,A,C,B,O,所得到的四邊形為平行四邊形,
∴OA綊BC.
∴可以看成是把OA平移到BC的位置.
∴點C的坐標(biāo)為(a+c,b+d).
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【題目】我們知道,任意一個正整數(shù)n都可以進(jìn)行這樣的分解:n=p×q(p,q是正整數(shù),且p≤q),在n的所有這種分解中,如果p,q兩因數(shù)之差的絕對值最小,我們就稱p×q是n的最佳分解,并規(guī)定:F(n)=,例如12可以分解成1×12,2×6或3×4,因為12-1>6-2>4-3,所有3×4是最佳分解,所以F(12)=.
(1)如果一個正整數(shù)a是另外一個正整數(shù)b的平方,我們稱正整數(shù)a是完全平方數(shù),求證:對任意一個完全平方數(shù)m,總有F(m)=1.
(2)如果一個兩位正整數(shù)t,t=10x+y(1≤x≤y≤9,x,y為自然數(shù)),交換其個位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)減去原來的兩位正整數(shù)所得的差為18,那么我們稱這個數(shù)t為“吉祥數(shù)”,求所有“吉祥數(shù)”中F(t)的最大值.
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【題目】某商店銷售A型和B型兩種型號的電腦,銷售一臺A型電腦可獲利120元,銷售一臺B型電腦可獲利140元.該商店計劃一次購進(jìn)兩種型號的電腦共100臺,其中B型電腦的進(jìn)貨量不超過A型電腦的3倍.設(shè)購進(jìn)A型電腦x臺,這100臺電腦的銷售總利潤為y元.
(1)求y與x的關(guān)系式;
(2)該商店購進(jìn)A型、B型電腦各多少臺,才能使銷售利潤最大?
(3)若限定商店最多購進(jìn)A型電腦60臺,則這100臺電腦的銷售總利潤能否為13600元?若能,請求出此時該商店購進(jìn)A型電腦的臺數(shù);若不能,請求出這100臺電腦銷售總利潤的范圍.
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【題目】有一座拋物線拱型橋,在正常水位時,水面的寬為米,拱橋的最高點到水面的距離為米,點是的中點,如圖,以點為原點,直線為軸,建立直角坐標(biāo)系.
(1)求該拋物線的表達(dá)式;
(2)如果水面上升米(即)至水面,點在點的左側(cè),
求水面寬度的長.
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【題目】已知關(guān)于x的方程 (m-1)x-mx+1=0。
(1)證明:不論m為何值時,方程總有實數(shù)根;
(2)若m為整數(shù),當(dāng)m為何值時,方程有兩個不相等的整數(shù)根。
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【題目】如圖,海中有一個小島 A,該島四周 11 海里范圍內(nèi)有暗礁.有一貨輪在海面上由西向正東方向航行,到達(dá)B處時它在小島南偏西60°的方向上,再往正東方向行駛10海里后恰好到達(dá)小島南偏西45°方向上的點C處.問:如果貨輪繼續(xù)向正東方向航行,是否會有觸礁的危險?(參考數(shù)據(jù):≈1.41,≈1.73)
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【題目】小亮步行上山游玩,設(shè)小亮出發(fā)x min加后行走的路程為y m.圖中的折線表示小亮在整個行走過程中y與x的函數(shù)關(guān)系,
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(2)當(dāng)5080時,求y與x的函數(shù)關(guān)系式.
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(2)求證:BD⊥BG
(3)當(dāng)AB=BE=1時,求EF的長,
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(1)求證:四邊形EGFH是平行四邊形;
(2)若EG=EH,AB=8,BC=4.求AE的長.
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