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【題目】圖中是拋物線拱橋,P處有一照明燈,水面OA寬4m,從O、A兩處觀測P處,仰角分別為α、β,且tanα= , ,以O為原點,OA所在直線為x軸建立直角坐標系.

(1)求點P的坐標;
(2)水面上升1m,水面寬多少( 取1.41,結果精確到0.1m)?

【答案】
(1)

解:過點P作PH⊥OA于H,如圖.

設PH=3x,

在Rt△OHP中,

∵tanα= = ,

∴OH=6x.

在Rt△AHP中,

∵tanβ= = ,

∴AH=2x,

∴OA=OH+AH=8x=4,

∴x=

∴OH=3,PH= ,

∴點P的坐標為(3,


(2)

解:若水面上升1m后到達BC位置,如圖,

過點O(0,0),A(4,0)的拋物線的解析式可設為y=ax(x﹣4),

∵P(3, )在拋物線y=ax(x﹣4)上,

∴3a(3﹣4)= ,

解得a=﹣ ,

∴拋物線的解析式為y=﹣ x(x﹣4).

當y=1時,﹣ x(x﹣4)=1,

解得x1=2+ ,x2=2﹣ ,

∴BC=(2+ )﹣(2﹣ )=2 =2×1.41=2.82≈2.8.

答:水面上升1m,水面寬約為2.8米.


【解析】本題主要考查了三角函數、運用待定系數法求拋物線的解析式、解一元二次方程等知識,出現角的度數(30°、45°或60°)或角的三角函數值,通常放到直角三角形中通過解直角三角形來解決問題.(1)過點P作PH⊥OA于H,如圖,設PH=3x,運用三角函數可得OH=6x,AH=2x,根據條件OA=4可求出x,即可得到點P的坐標;(2)若水面上升1m后到達BC位置,如圖,運用待定系數法可求出拋物線的解析式,然后求出y=1時x的值,就可解決問題.
【考點精析】通過靈活運用關于仰角俯角問題,掌握仰角:視線在水平線上方的角;俯角:視線在水平線下方的角即可以解答此題.

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圖形的變化

示例圖形

與對應線段有關的結論

與對應點有關的結論

平移

AA′=BB′
AA′∥BB′

軸對稱

旋轉

AB=A′B′;對應線段AB和A′B′所在的直線相交所成的角與旋轉角相等或互補.

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(1)( +1)0+|﹣2|﹣31
(2)解不等式組:

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(1)甲、乙兩采摘園優(yōu)惠前的草莓銷售價格是每千克元;
(2)求y1、y2與x的函數表達式;
(3)在圖中畫出y1與x的函數圖象,并寫出選擇甲采摘園所需總費用較少時,草莓采摘量x的范圍.

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