【題目】如圖,是將拋物線 平移后得到的拋物線,其對稱軸為 ,與x軸的一個交點為A ,另一交點為B,與y軸交點為C.
(1)求拋物線的函數表達式;
(2)若點 為拋物線上一點,且BC⊥NC,求點N的坐標;
(3)點P是拋物線上一點,點Q是一次函數 的圖象上一點,若四邊形OAPQ為平行四邊形,這樣的點P、Q是否存在?若存在,分別求出點P、Q的坐標,若不存在,說明理由.
【答案】
(1)解:設拋物線的解析式是 .
把 代入得 ,解得,
則拋物線的解析式是 ,即 ;
(2)解:
方法一:設直線BC的解析式為 ,
∴直線BC的解析式為 ,
由BC⊥NC,則設直線CN的解析式為
,即直線CN的解析式為
∵N為直線BC與CN的交點,
∴聯(lián)立方程得: ,即 ,
∴ ,則N的坐標是
方法二:在 中令 ,則 ,
即C的坐標是 ,OC=3.
∵B的坐標是 ,
∴OB=3,
∴OC=OB,則△OBC是等腰直角三角形.
∴∠OCB=45°,
過點N作NH⊥y軸,垂足是H.
∵∠NCB=90°,∴∠NCH=45°,
∴NH=CH,∴HO=OC+CH=3+CH=3+NH,
設點N縱坐標是 .
∴ ,
解得 (舍去)或 ,
∴N的坐標 ;
(3)解:∵四邊形OAPQ是平行四邊形,
則PQ=OA=1,且PQ∥OA,
設 ,則 代入 ,
得 ,
整理,得 ,
解得 或 .
∴ 的值為3或 .
∴P、Q的坐標是 或 .
【解析】(1)由其對稱軸為 x = 1 ,可得頂點橫坐標為1,再由與x軸的一個交點為A ( 1 , 0 ),且由平移可得a=-1,所以易由頂點式求得解析式為y = x 2 + 2 x + 3
(2)由B(3,0)C(0,3)易得直線BC為y = x + 3 ,由于BC⊥NC,可得直線NC的斜率k=1,結合點C(0,3),可得到直線NC為y = x + 3;所求點N為二次函數與直線NC的交點,連列方程組可得N的坐標是 ( 1 , 4 )。
(3)由四邊形OAPQ是平行四邊形易得PQ=OA=1,且PQ∥OA,所以若設 P ( t , t 2 + 2 t + 3 ),則可得 Q ( t + 1 , t 2 + 2 t + 3 )由于Q為直線y = x + 的點,代入可計算出t= 0 或 t = ,代入所設 P ( t , t 2 + 2 t + 3 ), Q ( t + 1 , t 2 + 2 t + 3 ) 即可得兩點坐標。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的圖象的相關知識,掌握二次函數圖像關鍵點:1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點,以及對二次函數的性質的理解,了解增減性:當a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減小;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減。
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,一次函數y=ax﹣a(a為常數)的圖象與y軸相交于點A,與函數y= 的圖象相交于點B(m,1).
(1)求點B的坐標及一次函數的解析式;
(2)若點P在y軸上,且△PAB為直角三角形,請直接寫出點P的坐標.
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【題目】如圖,正方形ABCD的四個頂點分別在四條平行線l1、l2、l3、l4上,這四條直線中相鄰兩條之間的距離依次為h1、h2、h3 . 若h1=2,h2=1,則正方形ABCD的面積為( )
A.9
B.10
C.13
D.25
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【題目】如圖所示,火車站、碼頭分別位于A,B兩點,直線a和b分別表示鐵路與河流.
(1)從火車站到碼頭怎樣走最近,畫圖并說明理由;
(2)從碼頭到鐵路怎樣走最近,畫圖并說明理由;
(3)從火車站到河流怎樣走最近,畫圖并說明理由.
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【題目】把下列各數分別填入相應的集合中:-(-230),,0,-0.99,1.31,5,,3.14246792…,-.
(1)整數集合:{ …}
(2)非正數集合:{ …}
(3)正有理數集合:{ …}
(4)無理數集合:{ …}
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【題目】如圖,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,M 在 AC上,且AM=6cm,過點 A(與 BC 在 AC 同側)作射線 AN⊥AC,若動點 P 從點 A 出發(fā),沿射線 AN 勻速運動,運動速度為 1cm/s,設點 P 運動時間為 t 秒.
(1)經過 秒時,Rt△AMP 是等腰直角三角形?
(2)經過幾秒時,PM⊥MB?
(3)經過幾秒時,PM⊥AB?
(4)當△BMP 是等腰三角形時,直接寫出 t 的所有值.
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【題目】甲、乙兩人共同計算一道整式乘法題:(2x+a)(3x+b).甲由于把第一個多項式中的“+a”看成了“﹣a”,得到的結果為6x2+11x﹣10;乙由于漏抄了第二個多項式中x的系數,得到的結果為2x2﹣9x+10.
(1)求a、b的值.
(2)計算這道乘法題的正確結果.
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【題目】南昌的霧霾引起了小張對環(huán)保問題的重視.一次旅游小張思考了一個問題.從某地到南昌,若乘火車需要小時,若乘汽車需要小時.這兩種交通工具平均每小時二氧化碳的排放量之和為千克,火車全程二氧化碳的排放總量比汽車的多千克,分別求火車和汽車平均每小時二氧化碳的排放量.
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【題目】某超市預測某飲料有發(fā)展前途,用1600元購進一批飲料,面市后果然供不應求,又用6000元購進這批飲料,第二批飲料的數量是第一批的3倍,但單價比第一批貴2元.
(1)第一批飲料進貨單價多少元?
(2)若二次購進飲料按同一價格銷售,兩批全部售完后,獲利不少于1200元,那么銷售單價至少為多少元?
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