【題目】(1)如圖1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,CD平分∠ACB.

求證:CA+AD=BC.

小明為解決上面的問題作了如下思考:作△ADC關(guān)于直線CD的對稱圖形△A′DC,

∵CD平分∠ACB,∴A′點落在CB上,且CA′=CA,A′D=AD.因此,要證的問題轉(zhuǎn)化為只要證A′D=A′B.請根據(jù)小明的思考寫出該問題完整的證明過程.

(2)參照(1)中小明的思考方法,解答下列問題:

如圖3,在四邊形ABCD中,AC平分∠BAD,BC=CD=10,AC=17,AD=9,求AB的長.

【答案】(1)見解析;(2)21.

【解析】

1)作△ADC關(guān)于CD的對稱圖形△ADC,再證明AD=BA即可;

(2)如圖,作△ADC關(guān)于AC的對稱圖形△ADC.過點CCEAB于點E,則DE=BE.設(shè)DE=BE=x.在RtCEB中,CE2=CB2BE2=102x2,在RtCEA中,CE2=AC2AE2=172﹣(9+x2.由此構(gòu)建方程即可解決問題;

(1)證明:作ADC關(guān)于CD的對稱圖形△A′DC,

ADC≌A′DC

∴A′D=AD,C A′=CA,∠CA′D=∠A=60°,

CD平分∠ACB,

A′點落在CB上

∵∠ACB=90°,

∴∠B=90°﹣∠A=30°,

CD平分∠ACB,

∴∠ACD=45°

ACD中,∠ADC=180°﹣∠A﹣∠A CD=75°

∴∠A′DC=∠ADC=75°,

∴∠A′DB=180°﹣∠ADC﹣∠A′DC=30°,

∴∠A′DB=∠B,∴A′D=A′B,

∴CA+AD=CA′+A′D=C A′+A′B=CB.

(2)如圖,作ADC關(guān)于AC的對稱圖形△A′DC.

ADC≌A′DC,

∴D′A=DA=9,D′C=DC=10,

AC平分∠BAD,∴D′點落在AB上,

∵BC=10,∴D′C=BC,

過點C作CEAB于點E,則D′E=BE.

設(shè)D′E=BE=x.

在RtCEB中,CE2=CB2﹣BE2=102﹣x2,

在RtCEA中,CE2=AC2﹣AE2=172﹣(9+x)2

∴102﹣x2=172﹣(9+x)2,

解得:x=6,

∴AB=AD′+D′E+EB=9+6+6=21.

練習冊系列答案
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根據(jù)以上信息,解答下列問題:

(1)這次調(diào)查一共抽取了多少名居民?

(2)關(guān)注程度為很強的居民占被調(diào)查居民總數(shù)的百分比是多少?

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組別

睡眠時間x

A

x7.5

B

7.5x8.5

C

8.5x9.5

D

9.5x10.5

E

x10.5

根據(jù)圖表提供的信息,回答下列問題:

(1)求統(tǒng)計圖中的a;

(2)抽取的樣本中,八年級學生睡眠時間在C組的有多少人?

(3)已知該校七年級學生有755人,八年級學生有785人,如果睡眠時間x(時)滿足:7.5≤x≤9.5,稱睡眠時間合格,試估計該校七、八年級學生中睡眠時間合格的共有多少人?

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