【題目】在平面直角坐標系中,直線與軸、軸分別交于點B、 A,點D、E分別是AO、AB的中點,連接DE,點P從點D出發(fā),沿DE方向勻速運動,速度為1cm/s;與此同時,點Q從點B出發(fā),沿BA方向勻速運動,速度為2cm/s,當點P停止運動時,點Q也停止運動.連接PQ,設(shè)運動時間為.
(1)分別寫出點P和Q坐標(用含t的代數(shù)式表示);
(2)①當點Q在BE之間運動時,設(shè)五邊形PQBOD的面積為(cm2),求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
②在①的情況下,是否存在某一時刻t,使PQ分四邊形BODE兩部分的面積之比為S△PQE:S五邊形PQBOD=1:29?若存在,求出此時t的值;若不存在,請說明理由;
(3)以P為圓心、PQ長為半徑作圓,請問:在整個運動過程中,當t為何值時,⊙P能與△ABO的一邊相切?
【答案】(1)P(t,3),Q(8-t, t);
(2)① ②t=2,理由見解析
(3)當t=, , 時,⊙P可與△ABC的一邊相切.
【解析】試題分析:(1)利用直線的解析式首先求得直線與兩坐標軸的交點坐標,然后利用三角形的中位線定理求得點P的縱坐標和點P的橫坐標即可;(2)①由P作PH⊥AB得到△PHE∽△AOB,利用相似三角形對應邊的比相等表示出PH,然后根據(jù)三角形的面積公式求解即可;②利用S△PQE:S五邊形PQBOD=1:29列出方程求得t值即可;(3)分當⊙P與OB相切時、當⊙P與OA相切時和當⊙P與AB相切時三種情況分類討論得到答案.
試題解析:
(1)P(t,3),Q(8-t, t);
(2)
①如圖1,P做PH⊥AB
△PHE∽△AOB
∴
∴
S△PEQ =
S四邊形DOBE= ×3=18
②×18 解得t=-(舍),t=2
(3)
當⊙P與OB相切時,分別過點P、Q作PF、QG垂直于x軸,垂足為F、G,再過點Q作QH⊥PF于點H,如圖2構(gòu)造直角△PHQ,
此時,△BQG∽△BAO,BQ=2t,得QG=HF=t,BG=t,
在Rt△PHQ中,PH2+HQ2=PQ2,得(3-t)2+(8-t-t)2=32,
解得: t1=4(舍),t2=
當⊙P與OA相切時,分別過點P、Q作PF、QG垂直于x軸,垂足為F、G,再過點Q作QH⊥PF于點H,如圖3構(gòu)造直角△PHQ,此時,△BQG∽△BAO,BQ=2t,得QG=HF=t,BG=t,
在Rt△PHQ中,PH2+HQ2=PQ2,得(3-t)2+(8-t-t)2=t2,
解得: t1=>4(舍),t2=
當⊙P與AB相切時,如圖4,此時, PE=4-t,EQ=2t-5,
由△EPQ∽△BAO,得,∴,解得: t=
∴當t=, , 時,⊙P可與△ABC的一邊相切.
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【題目】如圖,在等腰直角三角形ABC中,∠ABC=90°,D為AC邊上的中點,過D點作DE⊥DF,交AB于E,交BC為F,
(1)求證:BE=CF;
(2)若AE=4,F(xiàn)C=3,求EF的長.
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【題目】若關(guān)于x的方程(m﹣2)x2﹣2x+1=0有兩個不等的實根,則m的取值范圍是( )
A. m<3B. m≤3C. m<3且m≠2D. m≤3且m≠2
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【題目】雞兔同籠是我國古代著名趣題之一.大約在1500年前,《孫子算經(jīng)》中就記載了這個有趣的問題,書中是這樣敘述的:“今有雉兔同籠,上有三十五頭,下有九十四足,問雉兔各幾何?”這四句話的意思是:有若干只雞兔同在一個籠子里,從上面數(shù),有35個頭;從下面數(shù)有94只腳.問籠中各有幾只雞和兔?
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【題目】閱讀下列解方程組的方法,然后解決有關(guān)問題.
解方程組
我們?nèi)绻苯涌紤]消元,那么非常麻煩,而采用下列解法則輕而易舉.
①﹣②,得2x+2y=2,即x+y=1 ③
③×16,得16x+16y=16 ④
②﹣④得x=﹣1,從而y=2
所以原方程組的解是
(1)請你用上述方法解方程組
(2)試猜測關(guān)于x、y的二元一次方程組 (a≠b)的解是什么?并加以驗證.
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【題目】A超市在一次周年慶典當天開展購物抽獎活動,凡當天在該超市購物的顧客,均有一次抽獎機會,抽獎規(guī)則如下:將如圖所示的圖形轉(zhuǎn)盤平均分成四個扇形,分別標上1,3,5,7四個數(shù)字,抽獎者連續(xù)轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤兩次,當每次停止后指針所指扇形內(nèi)的數(shù)為每次所得數(shù)(若指針指在分界處重轉(zhuǎn)),當兩次所得數(shù)字之和為2時,返現(xiàn)金20元,當兩次所得數(shù)字之和為4時,返現(xiàn)金10元,當兩次所得數(shù)字之和為6時,返現(xiàn)金5元.
(1)試用樹狀圖或列表的方法,表示出王大媽這次抽獎中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果.
(2)試求王大媽在參加這次抽獎活動中,能獲得返現(xiàn)金的概率是多少?
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