Question

如圖，在直角坐標(biāo)系x O y中，二次函數(shù)的圖像與x軸、y軸的公共點(diǎn)分別為A（5，0）、B，點(diǎn)C在這個二次函數(shù)的圖像上，且橫坐標(biāo)為3．

（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）求∠BAC的正切值；
（3）如果點(diǎn)D在這個二次函數(shù)的圖像上，且∠DAC = 45°，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）（2）（3）

試題分析：解：（1）∵ 二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（5，0），
∴ ．
解得 ．
∴ 二次函數(shù)的解析式是
（2）當(dāng) x = 0時，得 y = 5．∴ B（0，5）．
當(dāng) x = 3時，得 ，∴ C（3，6）．
聯(lián)結(jié)BC．
∵ ，
，
，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
（3）設(shè)D（m，n）．
過點(diǎn)D作DE⊥x軸，垂足為點(diǎn)E．則 ，DE = n．
∵ A（5，0），B（0，5），∴ OA = OB．
又∵ ，∴ ，
即得 ∠DAE +∠BAD = 45º．
又∵ ∠DAC = 45º，即 ∠BAD +∠BAC = 45º，
∴ ∠DAE =∠BAC．
又∵ ∠DEA =∠ACB = 90º，
∴ △DAE∽△BAC．
∴ ．
∴ ．即得 ．
∵ 點(diǎn)D在二次函數(shù)的圖像上，
∴ ．
解得 ，m₂ = 5（不合題意，舍去）．
∴ ．
∴ ．
點(diǎn)評：該題是常考題，將二次函數(shù)的圖像和二次函數(shù)值聯(lián)系在一起，考查學(xué)生對二次函數(shù)的系數(shù)和三角函數(shù)值的求解方法，要求學(xué)生必須掌握。