【題目】如圖,CD為⊙O的直徑,弦AB垂直于CD,垂足為H,∠EAD=∠HAD.
(1)求證:AE為⊙O的切線;
(2)延長AE與CD的延長線交于點P,過D 作DE⊥AP,垂足為E,已知PA=2,PD=1,求⊙O的半徑和DE的長.
【答案】
(1)證明:連結(jié)OA,如圖所示.
∵AB⊥CD,
∴∠AHD=90°,
∴∠HAD+∠ODA=90°.
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA.
又∵∠EAD=∠HAD,
∴∠EAD+∠OAD=90°,
∴OA⊥AE.
又∵點A在圓上,
∵AE為⊙O的切線.
(2)解:設(shè)⊙O的半徑為x,在Rt△AOP中,
OA2+AP2=OP2,即x2+22=(x+1)2,
解得:x=1.5,
∴⊙O的半徑為1.5.
∵DE⊥AP,OA⊥AP,
∴OA∥DE,
∴△PED∽△PAO,
∴ = ,即 = ,
解得:DE= .
【解析】(1)連接OA,根據(jù)垂線的定義結(jié)合角的計算,即可得出∠EAD+∠OAD=90°,從而得出OA⊥AE,再由點A在圓上,即可證出AE為⊙O的切線;(2)設(shè)⊙O的半徑為x,在Rt△AOP中,利用勾股定理可求出x的值,再由DE⊥AP,得出OA∥DE,進(jìn)而可得出△PED∽△PAO,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出DE的長度.
【考點精析】掌握勾股定理的概念和相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2;相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在方格紙中,每個小方格的邊長均為1個長度單位,三角形ABC的三個頂點和點P都在小方格的頂點上.要求:①將三角形ABC平移,使點P落在平移后的三角形內(nèi)部;②平移后的三角形的頂點在方格的頂點上.請你在圖甲和圖乙中分別畫出符合要求的一個示意圖,并寫出平移的方法.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)y=(m+1)x2-|m|+n+4.
(1)當(dāng)m,n為何值時,此函數(shù)是一次函數(shù)?
(2)當(dāng)m,n為何值時,此函數(shù)是正比例函數(shù)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線AM⊥AN,AB平分∠MAN,過點B作BC⊥BA交AN于點C;動點E、D同時從A點出發(fā),其中動點E以2cm/s的速度沿射線AN方向運(yùn)動,動點D以1cm/s的速度在直線AM上運(yùn)動;已知AC=6cm,設(shè)動點D,E的運(yùn)動時間為ts.
(1)試求∠ACB的度數(shù);
(2)若:=2:3,試求動點D,E的運(yùn)動時間t的值;
(3)試問當(dāng)動點D,E在運(yùn)動過程中,是否存在某個時間t,使得△ADB≌△CEB?若存在,請求出時間t的值;若不存在,請說出理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知∠1和∠2互為補(bǔ)角,∠A=∠D.求證:AB∥CD.
證明:∵∠1與∠CGD是對頂角,
∴∠1=∠CGD(______).
又∠1和∠2互為補(bǔ)角(已知),
∴∠CGD和∠2互為補(bǔ)角,
∴AE∥FD(_________),
∴∠A=∠BFD(_______).
∵∠A=∠D(已知),
∴∠BFD=∠D(_______),
AB∥CD(______).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為1,分別以頂點A、B、C、D為圓心,1為半徑畫弧,四條弧交于點E、F、G、H,則圖中陰影部分的外圍周長為( 。
A.
B.
C.π
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義,如圖1,點M,N把線段AB分割成AM,MN和BN,若以AM,MN,BN為邊的三角形是一個直角三角形,則稱點M,N為線段AB的勾股分割點.
(1)已知點M,N是線段AB的勾股分割點,若AM=3,MN=5,求BN的長
(2)如圖2,在Rt△ABC中,AC=BC,點M,N在斜邊AB上,∠MCN=45°,求證:點M,N是線段AB的勾股分割點;陽陽在解決第(2)小題時遇到了困難,陳老師對陽陽說:要證明勾股分割點,則需設(shè)法構(gòu)造直角三角形,你可以把△CBN繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90度試試,請根據(jù)陳老師的提示完成證明過程.
(3)如圖3,C是線段AB上的一定點,請在BC上畫一點D,使C、D是線段AB的勾股分割點
(要求:完成尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,并在右側(cè)分步寫出作圖步驟)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在四邊形ABCD中,∠DAB被對角線AC平分,且AC2=ABAD.我們稱該四邊形為“可分四邊形”,∠DAB稱為“可分角”.
(1)如圖2,在四邊形ABCD中,∠DAB=60°,AC平分∠DAB,且∠BCD=150°,求證:四邊形ABCD為“可分四邊形”;
(2)如圖3,四邊形ABCD為“可分四邊形”,∠DAB為“可分角”,如果∠DCB=∠DAB,則求∠DAB的度數(shù);
(3)現(xiàn)有四邊形ABCD為“可分四邊形”,∠DAB為“可分角”,且AC=4,則△DAB的最大面積等于 .
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