Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），將直線y=﹣x沿y軸向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后恰好經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，且∠APD=∠ACB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）連結(jié)CD，求∠OCA與∠OCD兩角和的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣4x+3；

（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）或（2，﹣2）；

（3）∠OCA與∠OCD兩角和的度數(shù)為45°．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)平移的規(guī)律，可得BC的解析式，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得B、C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得BC的解析式；

（2）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得A、B、C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)配方法，可得D點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得BC的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得PF的長(zhǎng)，根據(jù)線段的和差，可得F點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）根據(jù)軸對(duì)稱，可得A′點(diǎn)，根據(jù)勾股定理，可得A′C，A′D，根據(jù)勾股定理的逆定理，可得∠CA′D=90°，根據(jù)等量代換，可得答案．

試題解析：（1）直線y=﹣x沿y軸向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后經(jīng)過(guò)y軸上的點(diǎn)C，得

y=﹣x+3，即C（0，3），（3，0）．

拋物線y=x2+bx+c過(guò)點(diǎn)B，C，，解得．

故拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3．

（2）由y=x2﹣4x+3，當(dāng)y=0時(shí)，x2﹣4x+3=0，解得x=1，x=3，即A（1，0），B（3，0）．

y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，D（2，﹣1）．∴OB=3，OC=3，OA=1，AB=2．

可得△OBC是等腰直角三角形．∴∠OBC=45°，CB=3．

如圖1，設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)F，

AF=AB=1．過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E．∴∠AEB=90°．可得BE=AE=，CE=2．

在△AEC與△AFP中，∠AEC=∠AFP=90°，∠ACE=∠APF，∴△AEC∽△AFP．

∴=， =．解得PF=2．點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）或（2，﹣2）．

（3）如圖2，作點(diǎn)A（1，0）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，則A′（﹣1，0）．

連結(jié)A′C，A′D，可得A′C=AC=，∠OCA′=∠OCA．

由勾股定理可得CD2=20，A′D2=10．又∵A′C2=10，∴A′D2+A′C2=CD2．

∴△A′DC是等腰直角三角形，∠CA′D=90°，∴∠DCA′=45°．

∴∠OCA′+∠OCD=45°．∴∠OCA+∠OCD=45°．

即∠OCA與∠OCD兩角和的度數(shù)為45°．