Question

已知：如圖，⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)M，點(diǎn)E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)．
求證：∠OEM=∠OFM．

Answer 1

分析：先證△ABM∽△DCM（AA），根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得

AB

DC

=

BM

CM

；然后根據(jù)垂徑定理推知

BE

CF

=

1 2 AB

1 2 DC

=

AB

DC

=

BM

CM

；然后推知△EBM∽△FCM，根據(jù)對(duì)應(yīng)角∠MEB=∠MFC；最后根據(jù)圖示中的角與角間的關(guān)系證明∠OEM=∠OFM．

解答：證明：∵E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，
∴OE⊥AB，OF⊥CD，且BE=

1

2

AB，CF=

1

2

DC
又∵∠ABD=∠DCA，∠BAC=∠CDB，
∴△ABM∽△DCM．
∴

AB

DC

=

BM

CM

．
∴

BE

CF

=

1 2 AB

1 2 DC

=

AB

DC

=

BM

CM

又∵∠EBM=∠FCM，
∴△EBM∽△FCM．
∴∠MEB=∠MFC．
而∠OEB=∠OFC=90°
∴∠OEM=∠MEB-∠OEB=∠MFC-∠OFC=∠OEM，即∠OEM=∠OFM．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)．解答該題的關(guān)鍵是根據(jù)垂徑定理求得BE=

1

2

AB，CF=

1

2

DC．