Question

如圖，已知拋物線經(jīng)過點A（-2，0），拋物線的頂點為D，過O作射線OM∥AD．過頂點D平行于x軸的直線交射線OM于點C，B在x軸正半軸上，連接BC．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若動點P從點O出發(fā)，以每秒l個長度單位的速度沿射線OM運動，設(shè)點P運動的時間為t（s）．問：當t為何值時，四邊形DAOP分別為平行四邊形？直角梯形？等腰梯形？
（3）若OC=OB，動點P和動點Q分別從點O和點B同時出發(fā)，分別以每秒l個長度單位和2個長度單位的速度沿OC和BO運動，當其中一個點停止運動時另一個點也隨之停止運動設(shè)它們運動的時間為t（s），連接PQ，當t為何值時，四邊形BCPQ的面積最��？并求出最小值．
（4）在（3）中當t為何值時，以O(shè)，P，Q為頂點的三角形與△OAD相似？（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】分析：（1）將A的坐標代入拋物線y=a（x-1）²+3（a≠0）可得a的值，即可得到拋物線的解析式；
（2）易得D的坐標，過D作DN⊥OB于N；進而可得DN、AN、AD的長，根據(jù)平行四邊形，直角梯形，等腰梯形的性質(zhì)，用t將其中的關(guān)系表示出來，并求解可得答案；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，易得△OCB是等邊三角形，可得BQ、PE關(guān)于t的關(guān)系式，將四邊形的面積用t表示出來，進而分析可得最小值及此時t的值，進而可求得PQ的長．
（4）分別利用當△AOD∽△OQP與當△AOD∽△OPQ，得出對應(yīng)邊比值相等，進而求出即可．
解答：解：（1）∵拋物線y=a（x-1）²+3（a≠0）經(jīng)過點A（-2，0），
∴0=9a+3，
∴a=-，
∴y=-（x-1）²+3；

（2））①∵D為拋物線的頂點，
∴D（1，3），
過D作DN⊥OB于N，則DN=3，AN=3，
∴AD==6，
∴∠DAO=60°．
∵OM∥AD，
①當AD=OP時，四邊形DAOP是平行四邊形，
∴OP=6，
∴t=6．
②當DP⊥OM時，四邊形DAOP是直角梯形，
過O作OH⊥AD于H，AO=2，則AH=1（如果沒求出∠DAO=60°可由Rt△OHA∽Rt△DNA（求AH=1）
∴OP=DH=5，t=5，
③當PD=OA時，四邊形DAOP是等腰梯形，
易證：△AOH≌△CDP，
∴AH=CP，
∴OP=AD-2AH=6-2=4，
∴t=4．
綜上所述：當t=6、5、4時，對應(yīng)四邊形分別是平行四邊形、直角梯形、等腰梯形；

（3）∵D為拋物線的頂點坐標為：D（1，3），
過D作DN⊥OB于N，則DN=3，AN=3，
∴AD==6，
∴∠DAO=60°，
∴∠COB=60°，OC=OB，△OCB是等邊三角形．
則OB=OC=AD=6，OP=t，BQ=2t，
∴OQ=6-2t（0＜t＜3）
過P作PE⊥OQ于E，則，
∴S_BCPQ=×6×3-×（6-2t）×t，
=，
當時，S_BCPQ的面積最小值為，

（4）當△AOD∽△OQP，
則=，
∵AO=2，AD=6，QO=6-2t，OP=t，
∴=，
解得：t=，
當△AOD∽△OPQ，
則=，
即=，
解得：t=，
故t=或時以O(shè)，P，Q為頂點的三角形與△OAD相似．
點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形、直角梯形、等腰梯形的判定等知識，將二次函數(shù)的圖象與解析式相結(jié)合處理問題、解決問題是考查重點．