Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線(xiàn)BC的方向以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，在線(xiàn)段DA上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)B、D同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，P、Q兩點(diǎn)之間的距離是13？
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，以P、Q、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？
（3）是否存在某一時(shí)刻t，使直線(xiàn)PQ恰好把直角梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分？如存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）結(jié)合勾股定理得出直角三角形的三邊長(zhǎng)，進(jìn)而分類(lèi)討論得出符合題意的t的值；
（2）利用當(dāng)PD=CQ時(shí)，Q沒(méi)有運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，當(dāng)PD=CQ時(shí)，Q運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)后再向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，分別得出等式求出即可；
（3）分別求出當(dāng)PQ平分梯形面積以及平分梯形周長(zhǎng)時(shí)的時(shí)間，進(jìn)而得出答案．

解答：解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥BC于點(diǎn)E，
∵AB=12，當(dāng)P、Q兩點(diǎn)之間的距離是13時(shí)，
∴PE=5，
即DQ=t，AQ=16-t，PE=5，PB=3t，
∴PB-AQ=3t-（16-t）=5，
解得：t=

21

4

，
如圖2，過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥BC于點(diǎn)F，
∵AB=12，當(dāng)P、Q兩點(diǎn)之間的距離是13時(shí)，
∴PF=5，
即DQ=t，AQ=16-t，PF=5，PB=3t，
∴PB+PF=AQ=16-t=3t+5，
解得：t=

11

4

；
綜上所述：當(dāng)t為

21

4

或

11

4

時(shí)，P、Q兩點(diǎn)之間的距離是13；

（2）如圖3，當(dāng)PD=CQ時(shí)，Q沒(méi)有運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，
由題意可得出：PD=t，CQ=21-3t，
∴t=21-3t，
解得：t=

21

4

，
如圖4，當(dāng)PD=CQ時(shí)，Q運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)后再向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，
由題意可得出：PD=t，CQ=3t-21，
∴t=3t-21，
解得：t=

21

2

，
綜上所述：當(dāng)t=

21

4

或

21

2

時(shí)，以P、Q、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形；

（3）不存在，
理由：∵直角梯形的面積為：

1

2

×12×（21+16）=222，
∴當(dāng)梯形APQB面積為111時(shí)，直線(xiàn)PQ恰好把直角梯形ABCD的面積等分，
即

1

2

×AB×（AP+QB）=111，
∴

1

2

×12×（16-t+3t）=111，
解得：t=

5

4

，
如圖5，過(guò)點(diǎn)D作DW⊥BC于點(diǎn)W，
∵AB=12，BC=21，AD=16，
∴CW=5，CD=13，
∵直角梯形的周長(zhǎng)為：13+16+12+21=62，
當(dāng)梯形APQB的周長(zhǎng)為31時(shí)，直線(xiàn)PQ恰好把直角梯形ABCD的周長(zhǎng)等分，
∴CD+QD+PC=31，
即t+13+21-3t=31，
解得：t=

3

2

，
∴不存在某一時(shí)刻t，使直線(xiàn)PQ恰好把直角梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了四邊形綜合以及勾股定理和平行四邊形的判定等知識(shí)，利用分類(lèi)討論的思想得出是解題關(guān)鍵．