Question

已知兩個(gè)反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）和y=

6

x

在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，點(diǎn)P是y=

6

x

圖象上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸，PD⊥y軸，垂足分別為C，D．PC、PD分別交y=

k

x

的圖象于點(diǎn)A，B．
（1）求證：△ODB與△OCA的面積相等；
（2）記S=S_△OAB-S_△PAB，當(dāng)k變化時(shí)，求S的最大值，并求當(dāng)S取最大值時(shí)△OAB的面積．

Answer 1

分析：（1）直接根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義進(jìn)行解答即可；
（2）設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，由反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義可知S=S_△OAB-S_△PAB=S_{△四邊形PBOA}-2S_△PAB，再把A、B、P三點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可．

解答：解：（1）∵點(diǎn)AB均是反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）上的點(diǎn)，PC⊥x軸，PD⊥y軸，
∴S_△ODB=S_△OCA=

k

2

，即△ODB與△OCA的面積相等；

（2）設(shè)P（x，

6

x

），則A（x，

k

x

），B（k，

6

x

），
∵點(diǎn)P在反比例函數(shù)y=

6

x

的圖象上，
∴S_矩形PDOC=6，
∵S_△ODB=S_△OCA=

k

2

，
∴S_{四邊形PBOA}=S_矩形PDOC-（S_△ODB+S_△OCA）=6-k，
∴S=S_△OAB-S_△PAB=S_{△四邊形PBOA}-2S_△PAB=6-k-2×

1

2

（

6

x

-

k

x

）（x-

kx

6

）=k-

k2

6

，
∴當(dāng)k=

3

2

時(shí)S有最大值，S_最大=

3

2

-

( 3 2 )2

6

=

9

8

；
當(dāng)k=

3

2

時(shí)，S_△PAB=

1

2

（

6

x

-

k

x

）（x-

kx

6

）=

29

32

，
∴S_△OAB=S+S_△PAB=

9

8

+

29

32

=

65

32

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，樹脂反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義是解答此題的關(guān)鍵．