Question

已知兩個反比例函數y=（k＞0）和y=在第一象限內的圖象如圖所示，點P是y=圖象上任意一點，過點P作PC⊥x軸，PD⊥y軸，垂足分別為C，D．PC、PD分別交y=的圖象于點A，B．
（1）求證：△ODB與△OCA的面積相等；
（2）記S=S_△OAB-S_△PAB，當k變化時，求S的最大值，并求當S取最大值時△OAB的面積．

Answer 1

解：（1）∵點AB均是反比例函數y=（k＞0）上的點，PC⊥x軸，PD⊥y軸，
∴S_△ODB=S_△OCA=，即△ODB與△OCA的面積相等；

（2）設P（x，），則A（x，），B（k，），
∵點P在反比例函數y=的圖象上，
∴S_矩形PDOC=6，
∵S_△ODB=S_△OCA=，
∴S_{四邊形PBOA}=S_矩形PDOC-（S_△ODB+S_△OCA）=6-k，
∴S=S_△OAB-S_△PAB=S_{△四邊形PBOA}-2S_△PAB=6-k-2×（-）（x-）=k-，
∴當k=時S有最大值，S_最大=-=；
當k=時，S_△PAB=（-）（x-）=，
∴S_△OAB=S+S_△PAB=+=．
分析：（1）直接根據反比例函數系數k的幾何意義進行解答即可；
（2）設出P點坐標，進而可得出A、B兩點坐標，由反比例函數系數k的幾何意義可知S=S_△OAB-S_△PAB=S_{△四邊形PBOA}-2S_△PAB，再把A、B、P三點的坐標代入即可．
點評：本題考查的是反比例函數綜合題，樹脂反比例函數系數k的幾何意義是解答此題的關鍵．