Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC=30°，以AB為直徑的⊙O經過點C．過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點P．點D為圓上一點，且 = ，弦AD的延長線交切線PC于點E，連接BC．

（1）判斷OB和BP的數(shù)量關系，并說明理由；
（2）若⊙O的半徑為2，求AE的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：OB=BP．

理由：連接OC，

∵PC切⊙O于點C，

∴∠OCP=90°，

∵OA=OC，∠OAC=30°，

∴∠OAC=∠OCA=30°，

∴∠COP=60°，

∴∠P=30°，

在Rt△OCP中，OC= OP=OB=BP

（2）

解：

由（1）得OB= OP，

∵⊙O的半徑是2，

∴AP=3OB=3×2=6，

∵ = ，

∴∠CAD=∠BAC=30°，

∴∠BAD=60°，

∵∠P=30°，

∴∠E=90°，

在Rt△AEP中，AE= AP= ×6=3．

【解析】（1）首先連接OC，由PC切⊙O于點C，可得∠OCP=90°，又由∠BAC=30°，即可求得∠COP=60°，∠P=30°，然后根據(jù)直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，證得OB=BP；（2）由（1）可得OB= OP，即可求得AP的長，又由 = ，即可得∠CAD=∠BAC=30°，繼而求得∠E=90°，繼而在Rt△AEP中求得答案．