Question

已知：在等邊△ABC中，點D、E、F分別為邊AB、BC、AC的中點，點G為直線BC上一動點，當點G在CB延長線上時，有結論“在直線EF上存在一點H，使得△DGH是等邊三角形”成立（如圖①），且當點G與點B、E、C重合時，該結論也一定成立．
問題：當點G在直線BC的其它位置時，該結論是否仍然成立？請你在下面的備用圖②③④中，畫出相應圖形并證明相關結論．

Answer 1

【答案】分析：連接DE、EF、DF．（1）當點G在線段BE上時，如圖①，在EF上截取EH使EH=BG．由D、E、F是等邊△ABC三邊中點，可得△DEF、△DBE也是等邊三角形且DE=AB=BD，可證明△DBG≌△DEH，然后即可證明；
（2）當點G在射線EC上時，如圖②，在EF上截取EH使EH=BG．由（1）可證△DBG≌△DEH．可得DG=DH，∠BDG=∠EDH．由∠BDE=∠BDG-∠EDG=60°，可得∠GDH=∠EDH-∠EDG=60°，即可證明．
（3）當點G在BC延長線上時，如圖③，與（2）同理可證，結論成立．
解答：證明：連接DE、EF、DF．
（1）當點G在線段BE上時，如圖①，
在EF上截取EH使EH=BG．
∵D、E、F是等邊△ABC三邊中點，
∴△DEF、△DBE也是等邊三角形且DE=AB=BD．
在△DBG和△DEH中，
∴△DBG≌△DEH．
∴DG=DH．
∴∠BDG=∠EDH．
∵∠BDE=∠GDE+∠BDG=60°，
∴∠GDH=∠GDE+∠EDH=60°
∴在直線EF上存在點H使得△DGH是等邊三角形．

（2）當點G在射線EC上時，如圖②，
在EF上截取EH使EH=BG．
由（1）可證△DBG≌△DEH．
∴DG=DH，∠BDG=∠EDH．
∵∠BDE=∠BDG-∠EDG=60°，
∴∠GDH=∠EDH-∠EDG=60°．
∴在直線EF上存在點H使得△DGH是等邊三角形．

（3）當點G在BC延長線上時，如圖③，與（2）同理可證，結論成立．
綜上所述，點G在直線BC上的任意位置時，該結論成立．
點評：本題考查了等邊三角形的判定與性質及全等三角形的判定與性質，難度較大，關鍵是巧妙地作出輔助線進行解題．