Question

【題目】如圖1，點(diǎn)P為∠MON的平分線上一點(diǎn)，以P為頂點(diǎn)的角的兩邊分別與射線OM，ON交于A，B兩點(diǎn)，如果∠APB繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)始終滿(mǎn)足，我們就把∠APB叫做∠MON的智慧角.

（1）如圖2，已知∠MON=90°，點(diǎn)P為∠MON的平分線上一點(diǎn)，以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的角的兩邊分別與射線OM，ON交于A，B兩點(diǎn)，且∠APB=135°. 求證：∠APB是∠MON的智慧角；

（2）如圖3，C是函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的直線CD分別交軸和軸于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足BC=2CA，請(qǐng)求出∠AOB的智慧角∠APB的頂點(diǎn)P的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）或

【解析】試題分析：（1）由角平分線求出∠AOP=∠BOP=，∠MON=45°，再證出∠OAP=∠OPB，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，得出OP2=OAOB，即可得出結(jié)論；

（2）設(shè)點(diǎn)C（a，b），則ab=3，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥OA于H；分兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)B在y軸正半軸上時(shí)；當(dāng)點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上時(shí)，BC=2CA不可能；當(dāng)?shù)?/span>A在x軸的正半軸上時(shí)；先求出，由平行線得出△ACH∽△ABO，得出比例式：

，得出OB=3b，OA=a，求出OAOB=，根據(jù)∠APB是∠AOB的智慧角，得出OP，即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②當(dāng)點(diǎn)B在y軸的負(fù)半軸上時(shí)；由題意得出：AB=CA，由AAS證明△ACH≌△ABO，得出OB=CH=b，OA=AH=a，得出OAOB=，求出OP，即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解：(1)證明：∵∠MON=90°，P為∠MON的平分線上一點(diǎn)，

∴∠AOP=∠BOP=∠MON=45°，

∵∠AOP+∠OAP+∠APO=180°，

∴∠OAP+∠APO=135°，

∵∠APB=135°，

∴∠APO+∠OPB=135°，

∴∠OAP=∠OPB，

∴△AOP∽△POB，

∴，

∴OP2=OAOB，

∴∠APB是∠MON的智慧角；

(2)設(shè)點(diǎn)C(a,b)，則ab=3，

過(guò)點(diǎn)C作CH⊥OA于H；分兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)B在y軸正半軸上時(shí)；點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上時(shí)，如圖2:

BC=2CA不可能;

當(dāng)點(diǎn)A在x軸的正半軸上時(shí)，如圖3:

∵BC=2CA，

∴，

∵CH∥OB，

∴△ACH∽△ABO，

∴,

∴OB=3b,OA=a，

∴OAOB=a3b=ab=，

∵∠APB是∠AOB的智慧角，

∴OP=，

∵∠AOB=90°，OP平分∠AOB，

∴點(diǎn)P到x,y軸的距離相等為

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：；

②當(dāng)點(diǎn)B在y軸的負(fù)半軸上時(shí),如圖4,

∵BC=2CA，

∴AB=CA，

∵∠AHC=∠AOB=90°，

又∵∠BAO=∠CAH,

∴△ACH≌△ABO(AAS)，

∴OB=CH=b,OA=AH=a，

∴OAOB=ab=，

∵∠APB是∠AOB的智慧角，

∴OP=

∵∠AOB=90°，OP平分∠AOB，

∴點(diǎn)P到x,y軸的距離相等為，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：；

綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為：或 .