Question

如圖，菱形ABCD中，AB=10，sinA=

4

5

，點(diǎn)E在AB上，AE=4，過點(diǎn)E作EF∥AD，交CD于F，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以1個(gè)單位/s的速度沿著線段AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)E出發(fā)也以1個(gè)單位/s的速度沿著線段EF向終點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．
（1）填空：當(dāng)t=5時(shí)，PQ=

2

5

；
（2）當(dāng)BQ平分∠ABC時(shí)，直線PQ將菱形的周長(zhǎng)分成兩部分，求這兩部分的比；
（3）以P為圓心，PQ長(zhǎng)為半徑的⊙P是否能與直線AD相切？如果能，求此時(shí)t的值；如果不能，說明理由．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)P作PM⊥EF，垂足為M，利用銳角三角函數(shù)求得PM的長(zhǎng)，然后利用勾股定理求得EM的長(zhǎng)，再利用勾股定理求得PQ的長(zhǎng)即可；
（2）根據(jù)題意畫出圖象，結(jié)合圖形和已知條件證得△EPQ∽△FMQ，進(jìn)而求得MC的長(zhǎng)，然后求得菱形的周長(zhǎng)被分成兩部分，并據(jù)此求得兩部分的比值；
（3）過P作PH⊥AD于H，并利用勾股定理PQ²=(

4

5

t)2+(4-

2

5

t)2后求得t的值即可．

解答：解：（1）根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：

過點(diǎn)P作PM⊥EF，垂足為M，
由題意可知AE=4，AP=EQ=5，則EP=1，
∵EF∥AD，
∴∠BEF=∠A，即sin∠BEF=sinA=

4

5

，
即

PM

EP

=

4

5

，則PM=

4

5

，
根據(jù)勾股定理得：EM=

3

5

，
則MQ=5-

3

5

=

22

5

，
在直角三角形PQM中，根據(jù)勾股定理得：
PQ=

( 4 5 )2+( 22 5 )2

=2

5

；

（2）根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：

∵BQ平分∠ABC，
∴∠EBQ=∠CBQ，
又∵BC∥EF，
∴∠CBQ=∠EQB，
∴∠EBQ=∠EQB，
∴EB=EQ=10-4=6，
則t=6，AP=6，
∴BP=4，QF=4，
設(shè)PQ交CD于點(diǎn)M，
∵AB∥CD，
∴∠EPQ=∠FMQ，∠PEQ=∠MFQ，
∴△EPQ∽△FMQ，
∴

EP

FM

=

EQ

QF

，即

2

FM

=

6

4

，
∴FM=

4

3

，
則MD=4-

4

3

=

8

3

，MC=

22

3

，
則直線PM分菱形分成的兩部分的周長(zhǎng)分別為AP+AD+MD和PB+BC+CM，
即菱形的周長(zhǎng)被分為

56

3

和

64

3

，
所以這兩部分的比為7：8；

（3）過P作PH⊥AD于H，交EF于G點(diǎn)，
則PH=

4

5

t，PE=t-4，PG=

4

5

（t-4），EG=

3

5

（t-4），
∴GQ=t-EG=

2

5

t+

12

5

，
PQ²=PG²+GQ²=（

4

5

t-

16

5

）²+（

2

5

t+

12

5

）²，
由題意可得方程(

4

5

t)2=（

4

5

t-

16

5

）²+（

2

5

t+

12

5

）²，
解得：t=10．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)、切線的判定及性質(zhì)及解直角三角形的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確地作出圖形．