Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y=﹣x2+3x+m的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B（4，0），另一個(gè)交點(diǎn)為A，且與y軸相交于C點(diǎn)

（1）求m的值及C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）在直線BC上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使得它與B，C兩點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積最大，若存在，求出此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由
（3）P為拋物線上一點(diǎn)，它關(guān)于直線BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q
①當(dāng)四邊形PBQC為菱形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t（0＜t＜4），當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PBQC的面積最大，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將B（4，0）代入y=﹣x2+3x+m，

解得，m=4，

∴二次函數(shù)解析式為y=﹣x2+3x+4，

令x=0，得y=4，

∴C（0，4），

（2）

解：存在，

理由：∵B（4，0），C（0，4），

∴直線BC解析式為y=﹣x+4，

當(dāng)直線BC向上平移b單位后和拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，△MBC面積最大，

∴ ，

∴x2﹣4x+b=0，

∴△=14﹣4b=0，

∴b=4，

∴ ，

∴M（2，6）

（3）

解：①如圖，

∵點(diǎn)P在拋物線上，

∴設(shè)P（m，﹣m2+3m+4），

當(dāng)四邊形PBQC是菱形時(shí)，點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上，

∵B（4，0），C（0，4）

∴線段BC的垂直平分線的解析式為y=x，

∴m=﹣m2+3m+4，

∴m=1± ，

∴P（1+ ，1+ ）或P（1﹣ ，1﹣ ），

②如圖，

設(shè)點(diǎn)P（t，﹣t2+3t+4），

過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線l，過(guò)點(diǎn)C作l的垂線，

∵點(diǎn)D在直線BC上，

∴D（t，﹣t+4），

∵PD=﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）=﹣t2+4t，

BE+CF=4，

∴S四邊形PBQC=2S△PDC=2（S△PCD+S△BD）=2（ PD×CF+ PD×BE）=4PD=﹣4t2+16t，

∵0＜t＜4，

∴當(dāng)t=2時(shí)，S四邊形PBQC最大=16

【解析】（1）用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；（2）先判斷出面積最大時(shí)，平移直線BC的直線和拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，從而求出點(diǎn)M坐標(biāo)；（3）①先判斷出四邊形PBQC時(shí)菱形時(shí)，點(diǎn)P是線段BC的垂直平分線，利用該特殊性建立方程求解；②先求出四邊形PBCQ的面積與t的函數(shù)關(guān)系式，從而確定出它的最大值．此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，極值的確定，對(duì)稱(chēng)性，面積的確定，解本題的關(guān)鍵是確定出△MBC面積最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)．