Question

若梯形ABCD的兩條對角線垂直且與兩底所圍成的兩個(gè)三角形的面積為p²和q²（如圖），則梯形的面積為（　　）

• A、2（p²+q²）
• B、（p+q）²
• C、p²+q²+pq
• D、p²+q²+

  p2q2

  p2+q2

Answer 1

分析：過O做EF⊥AB，則EF為梯形ABCD的高，根據(jù)△COD和△AOB的面積可以求得AB、CD的值，根據(jù)AB、CD、EF的值即可計(jì)算梯形ABCD的面積，即可解題．

解答：解：令梯形ABCD為等腰梯形，
∵△COD的面積為q²，△AOB的面積為p²，
∴根據(jù)勾股定理可得：CD=2q，AB=2p，EO=q，F(xiàn)O=p，
∴梯形ABCD的面積為

1

2

×（2p+2q）×（p+q）=（p+q）²，
另法：由題意可知這兩個(gè)三角形是相似三角形，
面積比是q²：p²，則上下底之比與兩個(gè)三角形的高之比是q：p，
設(shè)上下底分別為mq，mp，兩個(gè)三角形對應(yīng)的高分別為nq，np，
有

mp•np

2

=p²，得mn=2
梯形面積=

(mp+mq)(np+nq)

2

=

mn(p+q)2

2

=（p+q）²，
故選 B．

點(diǎn)評：本題考查了梯形面積的計(jì)算，考查了直角三角形中勾股定理的運(yùn)用，本題中求EF的值是解題的關(guān)鍵．