Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分線， DE⊥AB于點E．

（1）如圖1，連接EC，求證：△EBC是等邊三角形；

（2）點M是線段CD上的一點（不與點C，D重合），以BM為一邊，在BM的下方作∠BMG=60°，MG交DE延長線于點G．請你在圖2中畫出完整圖形，并直接寫出MD，DG與AD之間的數(shù)量關系；

（3）如圖3,點N是線段AD上的一點，以BN為一邊，在BN的下方作∠BNG=60°，NG交DE延長線于點G，且MB=MG．試探究ND，DG與AD數(shù)量之間的關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）AD = DG＋DM；（3）AD = DG－DN.

【解析】

（1）利用“三邊相等”的三角形是等邊三角形證得△EBC是等邊三角形；
（2）延長ED使得DW=DM，連接MN，即可得出△WDM是等邊三角形，利用△WGM≌△DBM即可得出BD=WG=DG+DM，再利用AD=BD，即可得出答案；
（3）利用等邊三角形的性質得出∠H=∠2，進而得出∠DNG=∠HNB，再求出△DNG≌△HNB即可得出答案．

(1)證明：如圖1所示：

在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°，

∴∠ABC=60°,BC=AB.

∵BD平分∠ABC，

∴∠1=∠DBA=∠A=30°.

∴DA=DB.

∵DE⊥AB于點E.

∴AE=BE=AB.

∴BC=BE.

∴△EBC是等邊三角形；

(2)結論：AD=DG+DM.

證明：

如圖2所示：延長ED使得DW=DM，連接MW，

∵∠ACB=90°,∠A=30°，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點E，

∴∠ADE=∠BDE=60°，AD=BD，

又∵DM=DW，

∴△WDM是等邊三角形，

∴MW=DM，

在△WGM和△DBM中，

∵

∴△WGM≌△DBM，

∴BD=WG=DG+DM，

∴AD=DG+DM.

(3)結論：AD=DGDN.

證明：延長BD至H，使得DH=DN.

由(1)得DA=DB,∠A=30°.

∵DE⊥AB于點E.

∴∠2=∠3=60°.

∴∠4=∠5=60°.

∴△NDH是等邊三角形.

∴NH=ND,∠H=∠6=60°.

∴∠H=∠2.

∵∠BNG=60°，

∴∠BNG+∠7=∠6+∠7.

即∠DNG=∠HNB.

在△DNG和△HNB中,

∴△DNG≌△HNB(ASA).

∴DG=HB.

∵HB=HD+DB=ND+AD，

∴DG=ND+AD.

∴AD=DGND.