【題目】探索發(fā)現(xiàn)】

如圖,是一張直角三角形紙片,B=60°,小明想從中剪出一個(gè)以B為內(nèi)角且面積最大的矩形,經(jīng)過(guò)多次操作發(fā)現(xiàn),當(dāng)沿著中位線DE、EF剪下時(shí),所得的矩形的面積最大,隨后,他通過(guò)證明驗(yàn)證了其正確性,并得出:矩形的最大面積與原三角形面積的比值為

【拓展應(yīng)用】

如圖,在ABC中,BC=a,BC邊上的高AD=h,矩形PQMN的頂點(diǎn)P、N分別在邊AB、AC上,頂點(diǎn)Q、M在邊BC上,則矩形PQMN面積的最大值為 .(用含a,h的代數(shù)式表示)

【靈活應(yīng)用】

如圖,有一塊“缺角矩形”ABCDE,AB=32,BC=40,AE=20,CD=16,小明從中剪出了一個(gè)面積最大的矩形(B為所剪出矩形的內(nèi)角),求該矩形的面積.

【實(shí)際應(yīng)用】

如圖,現(xiàn)有一塊四邊形的木板余料ABCD,經(jīng)測(cè)量AB=50cm,BC=108cm,CD=60cm,且tanB=tanC=,木匠徐師傅從這塊余料中裁出了頂點(diǎn)M、N在邊BC上且面積最大的矩形PQMN,求該矩形的面積.

【答案】探索發(fā)現(xiàn)】【拓展應(yīng)用】;【靈活應(yīng)用】720;【實(shí)際應(yīng)用】1944.

【解析】

試題分析:【探索發(fā)現(xiàn)】:由中位線知EF=BC、ED=AB、由 =可得;

【拓展應(yīng)用】:由APN∽△ABC知,可得PN=a﹣PQ,設(shè)PQ=x,由S矩形PQMN=PQPN,據(jù)此可得;

【靈活應(yīng)用】:添加如圖1輔助線,取BF中點(diǎn)I,F(xiàn)G的中點(diǎn)K,由矩形性質(zhì)知AE=EH20、CD=DH=16,分別證AEF≌△HED、CDG≌△HDE得AF=DH=16、CG=HE=20,從而判斷出中位線IK的兩端點(diǎn)在線段AB和DE上,利用【探索發(fā)現(xiàn)】結(jié)論解答即可;

【實(shí)際應(yīng)用】:延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作EHBC于點(diǎn)H,由tanB=tanC知EB=EC、BH=CH=54,EH=BH=72,繼而求得BE=CE=90,可判斷中位線PQ的兩端點(diǎn)在線段AB、CD上,利用【拓展應(yīng)用】結(jié)論解答可得.

試題解析:【探索發(fā)現(xiàn)】

EF、ED為ABC中位線,EDAB,EFBC,EF=BC,ED=AB,又B=90°,四邊形FEDB是矩形,則 ===,故答案為:;

【拓展應(yīng)用】

PNBC,∴△APN∽△ABC,,即PN=a﹣PQ,設(shè)PQ=x,則S矩形PQMN=PQPN=x(a﹣x)= =,當(dāng)PQ=時(shí),S矩形PQMN最大值為,故答案為:;

【靈活應(yīng)用】

如圖1,延長(zhǎng)BA、DE交于點(diǎn)F,延長(zhǎng)BC、ED交于點(diǎn)G,延長(zhǎng)AE、CD交于點(diǎn)H,取BF中點(diǎn)I,F(xiàn)G的中點(diǎn)K,

由題意知四邊形ABCH是矩形,AB=32,BC=40,AE=20,CD=16,EH=20、DH=16,AE=EH、CD=DH,在AEF和HED中,∵∠FAE=DHE,AE=AH,AEF=HED,∴△AEF≌△HED(ASA),AF=DH=16,同理CDG≌△HDE,CG=HE=20,BI=(AB+AF)=24,BI=2432,中位線IK的兩端點(diǎn)在線段AB和DE上,過(guò)點(diǎn)K作KLBC于點(diǎn)L,由【探索發(fā)現(xiàn)】知矩形的最大面積為×BGBF=×(40+20)×(32+16)=720,答:該矩形的面積為720;

【實(shí)際應(yīng)用】

如圖2,延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作EHBC于點(diǎn)H,tanB=tanC=,∴∠B=C,EB=EC,BC=108cm,且EHBC,BH=CH=BC=54cm,tanB==,EH=BH=×54=72cm,在RtBHE中,BE==90cm,AB=50cm,AE=40cm,BE的中點(diǎn)Q在線段AB上,CD=60cm,ED=30cm,CE的中點(diǎn)P在線段CD上,中位線PQ的兩端點(diǎn)在線段AB、CD上,由【拓展應(yīng)用】知,矩形PQMN的最大面積為BCEH=1944cm2.

答:該矩形的面積為1944cm2

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求證:△BED是等腰三角形.
(2)求DE的長(zhǎng).
(3)如圖2,若點(diǎn)P是BD上一動(dòng)點(diǎn), 于點(diǎn)N, 于點(diǎn)M,問(wèn): PN+PM的長(zhǎng)是否為定值?如果是,請(qǐng)求出該值,如果不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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(2)當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動(dòng)時(shí),△PDH的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化?并證明你的結(jié)論;
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