Question

已知：對(duì)于實(shí)數(shù)a，只有一個(gè)實(shí)數(shù)值x滿(mǎn)足等式，試求所有這樣的實(shí)數(shù)a的和．

Answer 1

【答案】分析：方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母（x+1）（x-1）把分式方程化為整式方程，再求出根的判別式△，然后分①△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，②△＞0時(shí)，方程有有一個(gè)根是分式方程的增根，另一個(gè)根不是方程的增根，分別求出a的值，然后相加即可得解．
解答：解：方程兩邊都乘以（x+1）（x-1）得，（x+1）²+（x-1）²+2x+a+2=0，
整理得，2x²+2x+a+4=0，①
△=b²-4ac=2²-4×2×（a+4）=-8a-28，
（1）當(dāng)方程①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，△=0，
即-8a-28=0，
解得a₁=-，
此時(shí)方程①有一個(gè)根x=-，驗(yàn)證可知x=-的確滿(mǎn)足題中的等式，
（2）當(dāng)方程①有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，△＞0，
即-8a-28＞0，
解得a＜-，
（i）若x=1是方程①的根，則原方程有增根x=1，代入①得，2+2+a+4=0，
解得a₂=-8，
此時(shí)方程①的另一個(gè)根x=-2，它的確也滿(mǎn)足題中的等式；
（ii）若x=-1是方程①的根，則原方程有增根x=-1，代入①得，2-2+a+4=0，
解得a₃=-4，
此時(shí)方程①的另一個(gè)根x=0，驗(yàn)證可知x=0的確滿(mǎn)足題中的等式；
因此a₁=-，a₂=-8，a₃=-4即為所求，
a₁+a₂+a₃=--8-4=-．
故答案為：-．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了分式方程的增根，根的判別式，難點(diǎn)在于把分式方程化為一元二次方程后，分式方程有一個(gè)根，則一元二次方程可以有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根或有一個(gè)根是分式方程的增根，另一個(gè)不是分式方程的增根兩種情況討論求解．