Question

【題目】如圖：拋物線 與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)P為線段BC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線ι⊥x軸于點(diǎn)F，交拋物線 于點(diǎn)E．

（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段PE長(zhǎng)的最大值；
（3）當(dāng)PE取最大值時(shí)，把拋物線 向右平移得到拋物線 ，拋物線 與線段BE交于點(diǎn)M，若直線CM把△BCE的面積分為1：2兩部分，則拋物線 應(yīng)向右平移幾個(gè)單位長(zhǎng)度可得到拋物線 ？

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)x=0時(shí)，y=-3，C（0，-3），
當(dāng)y=0時(shí)，
解得 ， ，
A（-1，0），B（3，0）

（2）解：直線BC的解析式為 ，則P（x，x-3）（0≦x≦3） E ．

PE= =
當(dāng) 時(shí)，PE最大值=

（3）解：E ，直線BE的解析式為 直線CM把△BCE的面積分成1:2．

M為BE的三等分點(diǎn)，有兩種情況如圖：

① 和 ，過(guò) 作 于G，

則 同理

方法一：設(shè)拋物線 為

①當(dāng)拋物線 過(guò)點(diǎn) 時(shí)， 解得：

或 <0（舍去）

②當(dāng)拋物線 過(guò)點(diǎn) 時(shí)， 解得： 或 <0（舍去）

綜上所述：把拋物線 向右平移 或 個(gè)單位長(zhǎng)度，就能得到拋物線 ．

方法二：過(guò)點(diǎn) 作 //x軸交拋物線 對(duì)稱軸左側(cè)于

當(dāng) 時(shí)， 解得： 或 >1（舍去）

過(guò)點(diǎn) 作 //x軸交拋物線 對(duì)稱軸左側(cè)于

當(dāng) 時(shí)，

解得： 或 >1（舍去）

綜上所述：把拋物線 向右平移 或 個(gè)單位長(zhǎng)度，就能得到拋物線 ．

【解析】（1）將x=0代入函數(shù)解析式求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，就可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再由y=0，求出對(duì)應(yīng)的自變量的值，就可得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)。
（2）利用待定系數(shù)法求出直線BC的函數(shù)解析式，根據(jù)直線ι⊥x軸可知直線l與y軸平行，則F、P、E三點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，就可表示出點(diǎn)E的坐標(biāo)。因此PE的長(zhǎng)=點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與點(diǎn)E的縱坐標(biāo)之差，列出PE與x的函數(shù)關(guān)系式，再求出其頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得出PE的最大值。
（3）先用平移的單位設(shè)出c2的解析式．由于直線CM把△BCE的面積分為1：2兩部分，根據(jù)等高三角形的面積比等于底邊比，可得出ME：BE=1：2或2：1．因此本題要分兩種情況進(jìn)行討論，可過(guò)M作x軸的垂線，先根據(jù)相似三角形求出M點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后根據(jù)直線BE的解析式，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)．由于拋物線c2經(jīng)過(guò)M點(diǎn)，據(jù)此可求出拋物線需要平移的單位。
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的最值的相關(guān)知識(shí)，掌握如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最值=(4ac-b2)/4a，以及對(duì)相似三角形的判定與性質(zhì)的理解，了解相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．