Question

【題目】如圖，正方形的邊長為9，、分別是、邊上的點，且.將繞點逆時針旋轉，得到.

（1）求證：

（2）當時，求的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）7.5

【解析】

（1）由旋轉可得DE=DM，∠EDM為直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得到∠MDF=45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF與三角形MDF全等，由全等三角形的對應邊相等可得出EF=MF；

（2）由第一問的全等得到AE=CM=3，正方形的邊長為9，用AB﹣AE求出EB的長，再由BC+CM求出BM的長，設EF=x，可得出BF=BM﹣FM=BM﹣EF=12﹣x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為EF的長．

（1）∵△DAE逆時針旋轉90°得到△DCM，

∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，

∴F、C、M三點共線，

∴DE=DM，∠EDM=90°，

∴∠EDF+∠FDM=90°．

∵∠EDF=45°，

∴∠FDM=∠EDF=45°，

在△DEF和△DMF中，

∵，

∴△DEF≌△DMF(SAS)，

∴EF=MF；

（2）設EF=x，則MF=x．

∵AE=CM=3，且BC=9，

∴BM=BC+CM=9+3=12，

∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=12﹣x．

∵EB=AB﹣AE=9﹣3=6，

在Rt△EBF中，由勾股定理得：EB2+BF2=EF2，

即62+(12﹣x)2=x2，

解得：x=7.5，

則EF=7.5．